Question

3．已知橢圓C的中心在坐標(biāo)原點，焦點在x軸上，左頂點為A，左焦點為F₁（-2，0），點$B（{2，\;\;\sqrt{2}}）$在橢圓C上．
（Ⅰ）求橢圓C的方程；
（Ⅱ）若直線y=kx（k≠0）與橢圓C交于E，F(xiàn)兩點，直線AE，AF分別與y軸交于點M，N．
求證：以MN為直徑的圓必過橢圓的兩焦點．

Answer 1

分析 （1）由題意可設(shè)橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程為$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1\;\;（a＞b＞0）$，結(jié)合已知及隱含條件列關(guān)于a，b，c的方程組，求解方程組得到a²，b²的值，則橢圓方程可求；
（2）設(shè)F（x₀，y₀），E（-x₀，-y₀），寫出AE、AF所在直線方程，求出M、N的坐標(biāo)，得到以MN為直徑的圓的方程，由圓的方程可知以MN為直徑的圓經(jīng)過定點（±2，0）．

解答 （1）解：（1）由題意可設(shè)橢圓方程為$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1\;\;（a＞b＞0）$，
則$\left\{\begin{array}{l}{c=2}\\{{a}^{2}=^{2}+{c}^{2}}\\{\frac{4}{{a}^{2}}+\frac{2}{^{2}}=1}\end{array}\right.$，解得：a²=8，b²=4．
∴橢圓C的方程為$\frac{{x}^{2}}{8}$+$\frac{{y}^{2}}{4}$=1；
（2）證明：如圖，設(shè)F（x₀，y₀），E（-x₀，-y₀），
則$\frac{{{x}_{0}}^{2}}{8}$+$\frac{{{y}_{0}}^{2}}{4}$=1，即有y₀²=$\frac{1}{2}$（8-x₀²），
A（-2$\sqrt{2}$，0），
AF所在直線方程y=$\frac{{y}_{0}}{{x}_{0}+2\sqrt{2}}$（x+2$\sqrt{2}$），
取x=0，得y=$\frac{2\sqrt{2}{y}_{0}}{{x}_{0}+2\sqrt{2}}$，
∴N（0，$\frac{2\sqrt{2}{y}_{0}}{{x}_{0}+2\sqrt{2}}$），
AE所在直線方程為y=$\frac{{y}_{0}}{{x}_{0}-2\sqrt{2}}$（x+2$\sqrt{2}$），
取x=0，得y=$\frac{2\sqrt{2}{y}_{0}}{{x}_{0}-2\sqrt{2}}$，
∴M（0，$\frac{2\sqrt{2}{y}_{0}}{{x}_{0}-2\sqrt{2}}$），
則以MN為直徑的圓的圓心坐標(biāo)為（0，$\frac{-2\sqrt{2}{x}_{0}{y}_{0}}{8-{{x}_{0}}^{2}}$），
半徑r=$\frac{8{y}_{0}}{8-{{x}_{0}}^{2}}$，
圓的方程為x²+（y-$\frac{-2\sqrt{2}{x}_{0}{y}_{0}}{8-{{x}_{0}}^{2}}$）²=$\frac{64{{y}_{0}}^{2}}{（8-{{x}_{0}}^{2}）^{2}}$=$\frac{16}{{{y}_{0}}^{2}}$，
即x²+（y+$\frac{\sqrt{2}{x}_{0}}{{y}_{0}}$）²=$\frac{16}{{{y}_{0}}^{2}}$，
取y=0，得x=±2．
∴以MN為直徑的圓經(jīng)過定點（±2，0），即為橢圓的焦點．

點評 本題考查橢圓的方程和簡單性質(zhì)，考查圓的方程的求法及應(yīng)用，考查化簡整理的運算能力，是中檔題．