Question

△ABC的三個內(nèi)角A、B、C所對的邊長為a、b、c，且滿足

an+bn=cn

，其中n是大于2的整數(shù)，問△ABC是何種三角形，為什么？

Answer 1

考點：余弦定理

專題：解三角形

分析：由題意可得0＜a＜c，0＜b＜c．根據(jù)aⁿ＜a²•c^n-2，bⁿ＜b²•c^n-2，可得 c² ＜a²+b²，從而△ABC為銳角三角形

解答： 解：當 aⁿ+bⁿ=cⁿ（n∈N，n＞2）時，三角形一定是銳角三角形．
∵aⁿ+bⁿ=cⁿ（n∈N，n＞2），
∴c邊為三角形ABC的最大邊，
∴0＜a＜c，0＜b＜c．
∴aⁿ=a²•a^n-2＜a²•c^n-2，bⁿ=b²•b^n-2＜b²•c^n-2．
∴cⁿ=aⁿ+bⁿ＜a²•c^n-2+b²•c^n-2=（a²+b²）c^n-2，
∴c² ＜a²+b²，
故△ABC為銳角三角形．
綜上，當 aⁿ+bⁿ=cⁿ（n∈N，n＞2）時，三角形一定是銳角三角形．

點評：本題主要考查三角形形狀的判斷，證明當 aⁿ+bⁿ=cⁿ（n∈N，n＞2）時，c² ＜a²+b²，是解題的難點．