Question

東莞市政府要用三輛汽車從新市政府把工作人員接到老市政府，已知從新市政府到老市政府有兩條公路，汽車走公路①堵車的概率為

1

4

，不堵車的概率為

3

4

；汽車走公路②堵車的概率為p，不堵車的概率為1-p．若甲、乙兩輛汽車走公路①，丙汽車由于其他原因走公路②，且三輛車是否堵車相互之間沒有影響．
（1）若三輛汽車中恰有一輛汽車被堵的概率為

7

16

，求走公路②堵車的概率；
（2）在（1）的條件下，求三輛汽車中被堵車輛的個數(shù)ξ的分布列和數(shù)學(xué)期望．

Answer 1

分析：（1）三輛車是否堵車相互之間沒有影響三輛汽車中恰有一輛汽車被堵，是一個獨立重復(fù)試驗，走公路②堵車的概率為p，不堵車的概率為1-p，根據(jù)獨立重復(fù)試驗的概率公式寫出關(guān)于P的方程，解出P的值，得到結(jié)果
（2）三輛汽車中被堵車輛的個數(shù)ξ，由題意知ξ可能的取值為0，1，2，3，結(jié)合變量對應(yīng)的事件和相互獨立事件同時發(fā)生的概率寫出變量的分布列，做出期望．

解答：解：（1）三輛車是否堵車相互之間沒有影響
三輛汽車中恰有一輛汽車被堵，是一個獨立重復(fù)試驗，
走公路②堵車的概率為p，不堵車的概率為1-p，
得

C

1 2

•

1

4

•

3

4

•(1-p)+(

3

4

)2•p=

7

16

即3p=1，則p=

1

3

即p的值為

1

3

．

（2）由題意知ξ可能的取值為0，1，2，3
P(ξ=0)=

3

4

•

3

4

•

2

3

=

3

8

P(ξ=1)=

7

16

P(ξ=2)=

1

4

•

1

4

•

2

3

+

C

1 2

•

1

4

•

3

4

•

1

3

=

1

6

P(ξ=3)=

1

4

•

1

4

•

1

3

=

1

48

∴ξ的分布列為：

∴Eξ=0•

3

8

+1•

7

16

+2•

1

6

+3•

1

48

=

5

6

點評：本題考查離散型隨機變量的分布列和期望，考查相互獨立事件同時發(fā)的概率，考查利用概率知識解決實際問題，是一個綜合題目．