Question

5．求下列函數(shù)的最大值和最小值，以及使函數(shù)取得這些值的自變量x的值．
（1）y=$\frac{1}{1+co{s}^{2}x}$；
（2）y=$\frac{1}{5si{n}^{2}x+1}$；
（3）y=2-（sinx+1）²．

Answer 1

分析 分別根據(jù)三角函數(shù)的有界性進行求解即可．

解答 解：（1）∵-1≤cosx≤1，
∴0≤cos²x≤1，
∴當cos²x=0時，即x=kπ+$\frac{π}{2}$，k∈Z時，函數(shù)y=$\frac{1}{1+co{s}^{2}x}$取得最大值此時y=1；
當cos²x=1時，即x=kπ，k∈Z時，函數(shù)y=$\frac{1}{1+co{s}^{2}x}$取得最小值此時y=$\frac{1}{2}$；
（2）∵-1≤sinx≤1，
∴0≤sin²x≤1，
∴當sin²x=0時，即x=kπ，k∈Z時，函數(shù)y取得最大值此時y=1；
當sin²x=1時，即kπ+$\frac{π}{2}$，k∈Z時，函數(shù)y取得最小值此時y=$\frac{1}{5+1}$=$\frac{1}{6}$．即x=kπ，k∈Z時，函數(shù)y=$\frac{1}{1+co{s}^{2}x}$取得最小值此時y=$\frac{1}{2}$；
（3）∵-1≤sinx≤1，
∴當sinx=-1，即x=2kπ-$\frac{π}{2}$，k∈Z時，函數(shù)取得最大值此時y=2；
當sinx=1，即x=2kπ+$\frac{π}{2}$，k∈Z時，函數(shù)取得最小值此時y=2-4=-2；

點評 本題主要考查函數(shù)的最值，利用三角函數(shù)的有界性是解決本題的關鍵．