Question

15．若雙曲線x${\;}^{2}-\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（b＞0）的一條漸近線與圓x${\;}^{2}+（y-\sqrt{3}）^{2}$=1至多有一個交點，則雙曲線的離心率的取值范圍是（　�。�

• A． （1，2]
• B． [2，+∞）
• C． （1，$\sqrt{3}$]
• D． [$\sqrt{3}，+∞$）

Answer 1

分析 由已知得圓心（0，$\sqrt{3}$）到漸近線y=bx的距離：d=$\frac{|0-\sqrt{3}|}{\sqrt{^{2}+1}}$≥1，由此能求出雙曲線的離心率的取值范圍．

解答 解：圓x²+（y-$\sqrt{3}$）²=1的圓心（0，$\sqrt{3}$），半徑r=1．
∵雙曲線x${\;}^{2}-\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（b＞0）的一條漸近線y=bx與圓x²+（y-$\sqrt{3}$）²=1至多有一個交點，
∴圓心（0，$\sqrt{3}$）到漸近線y=bx的距離：d=$\frac{|0-\sqrt{3}|}{\sqrt{^{2}+1}}$≥1，化為b²≤2．
∴e²=1+b²≤3，
∵e＞1，
∴1＜e≤$\sqrt{3}$，
∴該雙曲線的離心率的取值范圍是（1，$\sqrt{3}$]．
故選：C．

點評 本題考查雙曲線的離心率的取值范圍的求法，是中檔題，解題時要注意圓、雙曲線的性質(zhì)的簡單運用．