Question

已知函數(shù)f（x）=sinx+cosx，f′（x）是f（x）的導(dǎo)函數(shù)．
（Ⅰ）若f（x）=2f′（x），求

1+sin2x

cos2x-sinxcosx

的值．
（Ⅱ）求函數(shù)F（x）=f（x）f′（x）+f²（x）的最大、最小值．

Answer 1

分析：（I）根據(jù)f（x）=2f'（x），易得sinx+cosx-2cosx-2sinx⇒tanx=

1

3

；再求

1+sin2x

cos2x-sinxcosx

的值，可以采用“齊次化切法”．
（II）求函數(shù)F（x）=f（x）f′（x）+[f（x）]²的最大值和最小值，必須先求f（x）的導(dǎo)數(shù)，再進(jìn)行化簡(jiǎn)F（x）．再?zèng)Q定正弦型函數(shù)的性質(zhì)求出最值

解答：解：（I）已知函數(shù)f（x）=sinx+cosx，則f′（x）=cosx-sinx．
由f（x）=2f'（x），易得sinx+cosx=2cosx-2sinx．
解得tanx=

1

3

∴

1+sin2x

cos2x-sinxcosx

=

2sin2x+cos2x

cos2x-sinxcosx

=

2tan2x+1

1-tanx

=

11

6

；
（II）由（I）得代入F（x）=f（x）f′（x）+[f（x）]²
∴F（x）=cos2x+sin2x+1=

2

sin（2x+

π

4

）+1
當(dāng)2x+

π

4

=2kπ+

π

2

⇒x=kπ+

π

8

（k∈Z）時(shí)，[F（x）]max=

2

+1
當(dāng)2x+

π

4

=2kπ-

π

2

⇒x=kπ-

3π

8

（k∈Z）時(shí)，[F（x）]max=-

2

+1

點(diǎn)評(píng)：求f（x）的導(dǎo)數(shù)，必須保證求導(dǎo)的準(zhǔn)確，要熟記求導(dǎo)公式．已知tanx=a，求其它三角函數(shù)代數(shù)式的值，常常采用“齊次化切法”．