Question

5．已知函數(shù)f（x）=|x-2|+|2x-1|．
（1）解不等式f（x）＜2；
（2）若不等式f（x）＜a（a∈R）的解集為空集，求a的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）去絕對(duì)值，將含絕對(duì)值不等式變成一次不等式，即可求解；
（2）根據(jù)條件知，a小于f（x）的最小值即可．

解答 解：（1）x＜$\frac{1}{2}$時(shí)，由原不等式得：2-x+1-2x＞2，解得x＜$\frac{1}{3}$；
$\frac{1}{2}≤x≤2$時(shí)，由原不等式得：2-x+2x-1＞2，解得x＞1；
x＞2時(shí)，由原不等式得：x-2+2x-1＞2，解得x＞$\frac{5}{3}$；
∴原不等式的解集為（-$∞，\frac{1}{3}$）∪（1，+∞）；
（2）f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{3-3x，x＜\frac{1}{2}}\\{x+1，\frac{1}{2}≤x≤2}\\{3x-3，x＞2}\end{array}\right.$，可知f（x）的最小值為$\frac{3}{2}$；
∵不等式f（x）＜a（a∈R）的解集為空集，
∴a的取值范圍為（-∞，$\frac{3}{2}$）．

點(diǎn)評(píng) 考查含絕對(duì)值不等式的解法，一元二次不等式的解法，對(duì)于第二問，要弄清讓f（x）的最小值滿足不等式即得a的取值范圍．