Question

16．已知函數(shù)f（x）=cos²x-2asinx-a（a∈R）．
（1）若函數(shù)為偶函數(shù)，求a的值；
（2）若函數(shù)的最大值為g（a），當方程g（x）=kx有1個根時，求k的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）若函數(shù)為偶函數(shù)，則f（-x）=f（x），進而可得a的值；
（2）求出g（a）的解析式，并在同一坐標系中畫出函數(shù)y=g（x）與y=kx的圖象，分析兩個函數(shù)圖象有一個交點時，k的范圍，可得答案．

解答 解：（1）∵函數(shù)f（x）=cos²x-2asinx-a為偶函數(shù)，
∴f（-x）=cos²（-x）-2asin（-x）-a=f（x）=cos²x+2asinx-a，
解得：a=0，
（2）∵函數(shù)f（x）=cos²x-2asinx-a=（1-sin²x）-2asinx-a=-（sinx+a）²+a²-a+1，
若-a≥1，即a≤-1，當sinx=1時，g（a）=-3a，
當-1＜-a＜1，即-1＜a＜1，當sinx=-a時，g（a）=a²-a+1，
若-a≤-1，即a≥1，當sinx=-1時，g（a）=a，
故函數(shù)g（x）的圖象如下圖所示：

由圖可知：當k∈（-∞，-3）∪（1，+∞）時，函數(shù)y=g（x）與y=kx的圖象有一個交點，即方程g（x）=kx有1個根，
故k的取值范圍為：（-∞，-3）∪（1，+∞）

點評 本題考查的知識點是三角函數(shù)的最值，函數(shù)的奇偶性，方程根的個數(shù)與函數(shù)零點的關(guān)系，難度中檔．