Question

4．設(shè)各項為正的等比數(shù)列{a_n}的公比q≠1，且a₃，a₅，a₆成等差數(shù)列，則$\frac{{a}_{3}+{a}_{5}}{{a}_{4}+{a}_{6}}$的值為（　�。�

• A． $\frac{{\sqrt{5}+1}}{2}$
• B． $\frac{{\sqrt{5}-1}}{2}$
• C． $\frac{1}{2}$
• D． 2

Answer 1

分析 由等比數(shù)列的第3，5及6項成等差數(shù)列，根據(jù)等差數(shù)列的性質(zhì)得到第5項的2倍等于第3項加上第6項，然后利用等比數(shù)列的通項公式化簡后，得到關(guān)于q的方程，根據(jù)q不等于1且各項為正，求出方程的解即可得到滿足題意q的值，進(jìn)而把所求的式子也利用等比數(shù)列的通項公式化簡后，得到關(guān)于q的式子，把q的值代入即可求出值．

解答 解：由a₃、a₅、a₆成等差數(shù)列，得到2a₅=a₃+a₆，
則2a₁q⁴=a₁q²+a₁q⁵，由a₁≠0，q≠0，得到2q²=1+q³，
可化為：（q-1）（q²-q-1）=0，又q≠1，
∴q²-q-1=0，解得：q=$\frac{1+\sqrt{5}}{2}$或q=$\frac{1-\sqrt{5}}{2}$（小于0，不合題意，舍去），
則則$\frac{{a}_{3}+{a}_{5}}{{a}_{4}+{a}_{6}}$=$\frac{{a}_{3}+{a}_{5}}{q（{a}_{3}+{a}_{5}）}$=$\frac{1}{q}$=$\frac{\sqrt{5}-1}{2}$．
故選B．

點評 此題考查學(xué)生靈活運用等差數(shù)列的性質(zhì)及等比數(shù)列的性質(zhì)化簡求值，靈活運用等比數(shù)列的通項公式化簡求值，是一道基礎(chǔ)題．