Question

14．函數(shù)f（x）=xsinx+cosx在區(qū)間（0，$\frac{3π}{2}$）上的極大值為（　�。�

• A． π
• B． -1
• C． 1
• D． $\frac{π}{2}$

Answer 1

分析 求解導(dǎo)數(shù)得出f（x）′=sinx+xcosx-sinx=xcosx，根據(jù)導(dǎo)數(shù)與單調(diào)性的關(guān)系判斷得出f（x）在（0，$\frac{π}{2}$）單調(diào)遞增，在（$\frac{π}{2}$，$\frac{3π}{2}$）單調(diào)遞減，求解可以得出極大值．

解答 解；∵函數(shù)f（x）=xsinx+cosx，
∴f（x）′=sinx+xcosx-sinx=xcosx
∵x∈（0，$\frac{3π}{2}$）
f（x）′=0，x=$\frac{π}{2}$，
f（x）′＞0，0＜x＜$\frac{π}{2}$，
f（x）′＜0，$\frac{π}{2}$$＜x＜\frac{3π}{2}$，
∴f（x）在（0，$\frac{π}{2}$）單調(diào)遞增，在（$\frac{π}{2}$，$\frac{3π}{2}$）單調(diào)遞減．
∴x=$\frac{π}{2}$時，f（x）極大值=f（$\frac{π}{2}$）=$\frac{π}{2}$×sin$\frac{π}{2}$+cos$\frac{π}{2}$=$\frac{π}{2}$
故選：D．

點評 本題簡單考查了導(dǎo)數(shù)，結(jié)合三角函數(shù)的性質(zhì)，求解函數(shù)的極大值問題，屬于中檔題．