Question

3．設(shè)函數(shù)f（x）=2x+$\frac{1}{x}$的圖象為C₁，將C₁向右平移2個(gè)單位，再向上平移4個(gè)單位得到圖象C₂，C₂對(duì)應(yīng)的函數(shù)為g（x）．
（1）求g（x）的解析式與值域；
（2）若直線(xiàn)y=x+m與C₂有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，求m的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）將函數(shù)f（x）=2x+$\frac{1}{x}$向右平移2個(gè)單位可得：2（x-2）+$\frac{1}{x-2}$，再向上平移4個(gè)單位，可得：：2（x-2）+$\frac{1}{x-2}$+4=g（x）．即可求解值域．
（2）化簡(jiǎn)g（x），直線(xiàn)y=x+m與C₂有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，組成方程組，消去y，利用判別式可得答案．

解答 解：（1）由函數(shù)f（x）=2x+$\frac{1}{x}$，向右平移2個(gè)單位可得：2（x-2）+$\frac{1}{x-2}$，再向上平移4個(gè)單位，
可得：：2（x-2）+$\frac{1}{x-2}$+4=g（x）．即g（x）的解析式為：g（x）=2x+$\frac{1}{x-2}$
根據(jù)不等式的性質(zhì)：
當(dāng)x＞2時(shí)，g（x）=2（x-2）+$\frac{1}{x-2}$+4≥2$\sqrt{2}+4$
當(dāng)x＜2時(shí)，g（x）=2（x-2）+$\frac{1}{x-2}$+4≤-2$\sqrt{2}+4$
∴函數(shù)g（x）的值域?yàn)椋?∞，4-2$\sqrt{2}$]∪[4+2$\sqrt{2}$，+∞）
（2）由（1）可得g（x）=2x+$\frac{1}{x-2}$
直線(xiàn)y=x+m與C₂有兩個(gè)不同的交點(diǎn)：
聯(lián)立：$\left\{\begin{array}{l}{y=2x+\frac{1}{x-2}}\\{y=x+m}\end{array}\right.$，消去y．可得：x²-（2+m）x+2m+1=0
∵△＞0，即m²-4m-4＞0
可得：$m＜2-2\sqrt{2}$或$m＞2+2\sqrt{2}$
故得m的取值范圍是{m|$m＜2-2\sqrt{2}$或$m＞2+2\sqrt{2}$}．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了函數(shù)解析式的求法，函數(shù)值域求法，本題也利用基本不等式研究函數(shù)值域，判別式求解范圍問(wèn)題，本題方法靈活，難度不大，屬于中檔題．