Question

15．如圖，在棱長為2的正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，E為對角線B₁D上的一點，M，N為對角線AC上的兩個動點，且線段MN的長度為1．
（1）當N為對角線AC的中點且DE=$\sqrt{2}$時，則三棱錐E-DMN的體積是$\frac{\sqrt{3}}{9}$；
（2）當三棱錐E-DMN的體積為$\frac{1}{3}$時，則DE=$\sqrt{6}$．

Answer 1

分析 （1）證明MN⊥平面DEN，求出三角形DEN的面積，代入體積公式計算即可；
（2）根據體積求出E到平面ABCD的距離，再利用相似三角形求出DE．

解答 解：（1）∵底面ABCD是邊長為2的正方形，N是AC的中點，
∴AC⊥BD，DN=$\sqrt{2}$，
∵BB₁⊥平面ABCD，AC?平面ABCD，
∴AC⊥BB₁，又BB₁∩BD=B，
∴AC⊥平面BB₁D，
故當N為AC的中點時，有MN⊥平面DEN，
又DB₁=2$\sqrt{3}$，BB₁=2，∴sin∠BDB₁=$\frac{2}{2\sqrt{3}}$=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，
∴V_E-DMN=V_M-DEN=$\frac{1}{3}{S}_{△DEN}•MN$=$\frac{1}{3}×\frac{1}{2}×\sqrt{2}×\sqrt{2}×\frac{\sqrt{3}}{3}×1$=$\frac{\sqrt{3}}{9}$．
（2）設三棱錐E-DMN的高為h，
則V_E-DMN=$\frac{1}{3}{S}_{△DMN}•h$=$\frac{1}{3}×\frac{1}{2}×1×\sqrt{2}×h$=$\frac{\sqrt{2}h}{6}$=$\frac{1}{3}$，
∴h=$\sqrt{2}$，
∵$\frac{h}{B{B}_{1}}=\frac{DE}{D{B}_{1}}$，即$\frac{\sqrt{2}}{2}=\frac{DE}{2\sqrt{3}}$，∴DE=$\sqrt{6}$．
故答案為：（1）$\frac{\sqrt{3}}{9}$，（2）$\sqrt{6}$．

點評 本題考查線面位置關系的判斷，棱錐的體積計算，屬于中檔題．