Question

（2010•武昌區(qū)模擬）已知函數(shù)f（x）=-x³+ax²-4（a∈R）．若函數(shù)y=f（x）的圖象在點P（1，f（1））處的切線的傾斜角為

π

4

．
（1）求a；
（2）設(shè)f（x）的導(dǎo)函數(shù)是f'（x），若m，n∈[-1，1]，求f（m）+f'（n）的最小值；
（3）對實數(shù)m的值，討論關(guān)于x的方程f（x）=m的解的個數(shù)．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)函數(shù)y=f（x）的圖象在點P（1，f（1））處的切線的傾斜角為

π

4

，利用函數(shù)在某點的導(dǎo)數(shù)值等于函數(shù)圖象在該點的切線的斜率，即可求得．
（2）分別計算f（m），f'（n）的最小值．利用導(dǎo)數(shù)在某個區(qū)間上的符號，確定函數(shù)單調(diào)性，進而確定函數(shù)最值．
（3）先求得f(0)=-4，f(

4

3

)=-

76

27

．畫出函數(shù)y=f（x）草圖，根據(jù)y=f（x）與y=m的交點個數(shù)，可確定方程f（x）=m的解的個數(shù)．

解答：解：（1）f'（x）=-3x²+2ax．…（1分）
據(jù)題意，f′(1)=tan

π

4

=1
∴-3+2a=1，即a=2…（3分）
（2）由（1）知f（x）=-x³+2x²-4，f'（x）=-3x²+4x．

x	-1	（-1，0）	0	（0，1）	1
f'（x）	-7	-	0	-	1
f（x）	-1		-4		-3

∴對于m∈[-1，1]，f（m）的最小值為f（0）=-4．…（6分）
∵f'（x）=-3x²-4x的對稱軸為x=

2

3

，且拋物線開口向下，
∴x∈[-1，1]時，f'（x）最小值為f'（-1）與f'（1）中較小的
∵f'（1）=1，f'（-1）=-7
∴當x∈[-1，1]時，在f'（x）的最小值為-7…（7分）
∴當x∈[-1，1]時，在f'（n）的最小值為-7…（8分）
∴f（m）+f'（n）的最小值為-11
（3）求得f(0)=-4，f(

4

3

)=-

76

27

．…（10分）
依題意可畫出函數(shù)y=f（x）草圖，得
當m＞-

76

27

或m＜-4時，方程有一解；
當m=-

76

27

或m=-4時，方程有兩解；
當-4＜m＜-

76

27

時，方程有三解；

點評：本題以函數(shù)為載體，考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義，考查利用導(dǎo)數(shù)解決函數(shù)的最值問題，同時考查了數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想，解題的關(guān)鍵是正確利用導(dǎo)數(shù)工具．