Question

已知圓的方程:
（1）求m的取值范圍；
（2）若圓C與直線相交于,兩點，且,求的值
（3）若(1)中的圓與直線x＋2y－4＝0相交于M、N兩點，且OM⊥ON(O為坐標原點)，求m的值；

Answer 1

(1);(2);(3).

試題分析：(1)圓的方程要滿足;或配成圓的標準方程，;
(2) 利用弦心距公式，先求點到面的距離，利用 ，求出的值;
(3)設,若,那么,利用直線方程與圓的方程聯(lián)立，得到根與系數(shù)的關系式，代入后，求得的值.
試題解析：解：（1）(1)方程x²＋y²－2x－4y＋m＝0，可化為
(x－1)²＋(y－2)²＝5－m，
∵此方程表示圓，
∴5－m＞0，即m＜5.
(2) 圓的方程化為 ，圓心 C（1，2），半徑 ，
則圓心C（1，2）到直線的距離為
由于，則，有，
得.
（3）
消去x得(4－2y)²＋y²－2×(4－2y)－4y＋m＝0，
化簡得5y²－16y＋m＋8＝0.
設M(x₁，y₁)，N(x₂，y₂)，則
      ①②
由OM⊥ON得y₁y₂＋x₁x₂＝0
即y₁y₂＋(4－2y₁)(4－2y₂)＝0，
∴16－8(y₁＋y₂)＋5y₁y₂＝0.
將①②兩式代入上式得
16－8×＋5×＝0，
解之得.