定義在定義域D內(nèi)的函數(shù)y=f(x),若對(duì)任意的x1、x2∈D,都有|f(x1)－f(x2)|＜1,則稱函數(shù)y=f(x)為“Storm函數(shù)”．已知函數(shù)f(x)=x3－x+a(x∈［－1,1］,a∈R)．

（1）若，求過(guò)點(diǎn)處的切線方程；

（2）函數(shù)是否為“Storm函數(shù)”?如果是,請(qǐng)給出證明;如果不是,請(qǐng)說(shuō)明理由．

（1）（2）當(dāng)c≤－時(shí)，ax2+bx+c≤0的解集為R


解析:

本題屬于信息遷移題,主要考查利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的極值．（1），，切線方程為．

（2）函數(shù)f(x)=x3－x+a(x∈［－1,1］,a∈R)的導(dǎo)數(shù)是f′(x)=3x2－1,

當(dāng)3x2－1=0時(shí),即x=±,

當(dāng)x＜時(shí),f′(x)=3x2－1＜0;當(dāng)x＞時(shí),f′(x)=3x2－1＞0,

故f(x)在x∈［－1,1］內(nèi)的極小值是a－．

同理,f(x)在x∈［－1,1］內(nèi)的極大值是a+．

∵f(1)=f(－1)=a,

∴函數(shù)f(x)=x3－x+a(x∈［－1,1］,a∈R)的最大值是a+,最小值是a－,

因?yàn)閨f(x1)－f(x2)|＜|fmax－fmin|,

故|f(x1)－f(x2)|＜|fmax－fmin|=＜1．

所以函數(shù)f(x)=x3－x+a(x∈［－1,1］,a∈R)是“Storm函數(shù)”．

練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

給出封閉函數(shù)的定義：若對(duì)于定義域D內(nèi)的任意一個(gè)自變量x0，都有函數(shù)值f（x0）∈D，則稱函數(shù)y=f（x）在D上封閉．若定義域D=（0，1），則函數(shù)①f1（x）=3x-1；②f2（x）=-
1
2
x2-
1
2
x+1；③f3（x）=1-x；④f4（x）=x，其中在D上封閉的是
 
．（填序號(hào)即可）

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

給出封閉函數(shù)的定義：若對(duì)于定義域D內(nèi)的任意一個(gè)自變量x0，都有函數(shù)值f（x0）∈D，則稱函數(shù)y=f（x）在D上封閉．若定義域D=（0，1），則函數(shù)①f（x）=3x-1；②f(x)=-
1
2
x2-
1
2
x+1；③f(x)=log2(x2+1)；④f(x)=x
1
2
，其中在D上封閉的是
②③④
②③④
．（填序號(hào)即可）

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

給出函數(shù)封閉的定義：若對(duì)于定義域D內(nèi)的任意一個(gè)自變量x0，都有函數(shù)值f（x0）∈D，稱函數(shù)y=f（x）在D上封閉．
（1）若定義域D1=（0，1），判斷函數(shù)g（x）=2x-1是否在D1上封閉，并說(shuō)明理由；
（2）若定義域D2=（1，5]，是否存在實(shí)數(shù)a，使得函數(shù)f(x)=
5x-ax+2
在D2上封閉？若存在，求出a的取值范圍；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．
（3）利用（2）中函數(shù)，構(gòu)造一個(gè)數(shù)列{xn}，方法如下：對(duì)于給定的定義域D2=（1，5]中的x1，令x2=f（x1），x3=f（x2），…，xn=f（xn-1），…在上述構(gòu)造數(shù)列的過(guò)程中，如果xi（i=1，2，3，4…）在定義域中，構(gòu)造數(shù)列的過(guò)程將繼續(xù)下去；如果xi不在定義域中，則構(gòu)造數(shù)列的過(guò)程停止．
①如果可以用上述方法構(gòu)造出一個(gè)無(wú)窮常數(shù)列{xn}，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．
②如果取定義域中任一值作為x1，都可以用上述方法構(gòu)造出一個(gè)無(wú)窮數(shù)列{xn}，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

給出函數(shù)封閉的定義：若對(duì)于定義域D內(nèi)的任意一個(gè)自變量x0，都有函數(shù)值f（x0）∈D，則稱函數(shù)y=f（x）在D上封閉．
（1）若定義域D1=（0，1），判斷下列函數(shù)中哪些在D1上封閉（寫出推理過(guò)程）：f1（x）=2x-1，f2（x）=-
1
2
x2-
1
2
x+1，f3（x）=2x-1；
（2）若定義域D2=（1，2），是否存在實(shí)數(shù)a，使得函數(shù)f（x）=
5x-a
x+2
在D2上封閉？若存在，求出a的值，并給出證明；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

給出函數(shù)封閉的定義：若對(duì)于定義域D內(nèi)的任一個(gè)自變量x0，都有函數(shù)值f（x0）∈D，則稱函數(shù)y=f（x）在D上封閉．
（1）若定義域D1=（0，1），判斷下列函數(shù)中哪些在D1上封閉，且給出推理過(guò)程f1（x）=2x-1，f2（x）=-
1
2
x2-
1
2
x+1，f3（x）=2x-1，f4（x）=cosx．；
（2）若定義域D2=（1，2），是否存在實(shí)數(shù)a使函數(shù)f（x）=
5x-a
x+2
在D2上封閉，若存在，求出a的值，并給出證明，若不存在，說(shuō)明理由．

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