Question

1．已知命題p：直線x-y+a=0與圓x²+y²-2x=1相交； 命題q：曲線y=e^x-ax（e 為自然對數的底數）在任意一點處的切線斜率均大于1．若命題p∧（￢q）是真命題，求實數a的取值范圍．

Answer 1

分析 如果命題命題p∧（￢q）是真命題，則命題p真，q假，分別求出相應的實數a的取值范圍，進而可得答案．

解答 解：若p為真，則
圓x²+y²-2x=1的圓心（1，0）到直線x-y+a=0的距離d＜r=$\sqrt{2}$，
即$\frac{|1+a|}{\sqrt{2}}＜\sqrt{2}$，
解得：-3＜a＜1；
若q為真，則y′=e^x-a＞1恒成立，
即a＜e^x-1恒成立，
由e^x-1＞-1，可得：a≤-1，
∵命題p∧（￢q）是真命題，
∴p真q假，
所以a∈（-1，1）．

點評 本題以命題的真假判斷與應用為載體，考查了復合命題，指數函數的圖象和性質，方程根的個數判斷等知識點，難度中檔．