Question

已知函數(shù)f（x）=asinx•cosx-

3

acos2x+

3

2

a+b(a＞0)
（1）求函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間；
（2）設(shè)x∈[0，

π

2

]，f（x）的最小值是-2，最大值是

3

，求實數(shù)a，b的值．

Answer 1

分析：（1）利用三角函數(shù)的恒等變換化簡f（x）的解析式等于asin（2x-

π

3

）+b，由 2kπ+

π

2

≤2x-

π

3

≤2kπ+

3π

2

，k∈z，求得x的范圍即得函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間．
（2）根據(jù) x∈[0，

π

2

]，可得 2x-

π

3

的范圍，sin（2x-

π

3

）的范圍，根據(jù)f（x）的最小值是-2，最大值是

3

，求得實數(shù)a，b的值．

解答：解：（1）f（x）=asinx•cosx-

3

a cos2x+

3

2

a+b(a＞0)=

a

2

sin2x-

3

2

a(1+cos2x)+

3 a

2

+b 
=

a

2

sin2x-

3

2

a•cos2x+b=asin（2x-

π

3

）+b．
由 2kπ+

π

2

≤2x-

π

3

≤2kπ+

3π

2

，k∈z，解得 kπ+

5π

12

≤x≤kπ+

11π

12

，k∈z，
故函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為[kπ+

5π

12

，kπ+

11π

12

]，k∈z．
（2）∵x∈[0，

π

2

]，∴-

π

3

≤2x-

π

3

≤

2π

3

，∴-

3

2

≤sin（2x-

π

3

）≤1．
∴f（x）_min =-

3 a

2

+ b=-2，f（x）_max =a+b=

3

，
解得  a=2，b=-2+

3

．

點評：本題主要考查三角函數(shù)的恒等變換及化簡求值，正弦函數(shù)的單調(diào)性和值域，化簡f（x）的解析式等于asin（2x-

π

3

）+b，是解題的關(guān)鍵．