Question

13．已知函數(shù)f（x）=log_a$\frac{x-3}{x+3}$，（a＞0，且a≠1）．
（1）判定f（x）的單調性，并證明；
（2）設g（x）=1+log_a（x-1），若方程f（x）=g（x）有實根，求a的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）先求出f（x）的定義域為（-∞，-3）∪（3，+∞），現(xiàn)在判斷并證明f（x）的單調性：在定義域上設任意的x₁＜x₂，作差便可得到$f（{x}_{1}）-f（{x}_{2}）=lo{g}_{a}\frac{（{x}_{1}-3）（{x}_{2}+3）}{（{x}_{1}+3）（{x}_{2}-3）}$，為判斷差大于0還是小于0，再作差并可得出（x₁-3）（x₂+3）-（x₁+3）（x₂-3）＜0，進一步可得到$\frac{（{x}_{1}-3）（{x}_{2}+3）}{（{x}_{1}+3）（{x}_{2}-3）}＜1$，這樣討論0＜a＜1，和a＞1便可判斷f（x₁）與f（x₂）的關系，從而得出f（x）的單調性；
（2）可由f（x）=g（x）得出$\frac{x-3}{x+3}=a（x-1）$，可整理成ax²+（2a-1）x+3-3a=0，根據(jù)題意便知該方程在x＞3上有解，從而可得到$\left\{\begin{array}{l}{a＞0}\\{a≠1}\\{△=（2a-1）^{2}-4a（3-3a）≥0}\\{\frac{1-2a+\sqrt{（2a-1）^{2}-4a（3-3a）}}{2a}＞3}\end{array}\right.$，這樣解該不等式組即可得出a的取值范圍．

解答 解：（1）該函數(shù)定義域為（-∞，-3）∪（3，+∞）；
設x₁，x₂∈（-∞，-3）∪（3，+∞），且x₁＜x₂，則：
f（x₁）-f（x₂）=$lo{g}_{a}\frac{{x}_{1}-3}{{x}_{1}+3}-lo{g}_{a}\frac{{x}_{2}-3}{{x}_{2}+3}$=$lo{g}_{a}\frac{（{x}_{1}-3）（{x}_{2}+3）}{（{x}_{1}+3）（{x}_{2}-3）}$；
（x₁-3）（x₂+3）-（x₁+3）（x₂-3）=x₁x₂+3（x₁-x₂）-9-[x₁x₂-3（x₁-x₂）-9]=6（x₁-x₂）；
∵x₁＜x₂；
∴6（x₁-x₂）＜0；
∴（x₁-3）（x₂+3）＜（x₁+3）（x₂-3）；
∵x₁，x₂∈（-∞，-3）∪（3，+∞）；
∴（x₁-3）（x₂+3）＞0，（x₁+3）（x₂-3）＞0；
∴$\frac{（{x}_{1}-3）（{x}_{2}+3）}{（{x}_{1}+3）（{x}_{2}-3）}＜1$；
∴①若0＜a＜1，則$lo{g}_{a}\frac{（{x}_{1}-3）（{x}_{2}+3）}{（{x}_{1}+3）（{x}_{2}-3）}＞0$，∴f（x₁）＞f（x₂）；
∴f（x）在（-∞，-3），（3，+∞）上是減函數(shù)；
②若a＞1，則$lo{g}_{a}\frac{（{x}_{1}-3）（{x}_{2}+3）}{（{x}_{1}+3）（{x}_{2}-3）}＜0$，∴f（x₁）＜f（x₂）；
∴f（x）在（-∞，-3），（3，+∞）上為增函數(shù)；
（2）由f（x）=g（x）得，$lo{g}_{a}\frac{x-3}{x+3}=1+lo{g}_{a}（x-1）$=log_aa（x-1）；
∴$\frac{x-3}{x+3}=a（x-1）$；
整理得：ax²+（2a-1）x+3-3a=0，該方程有大于3的實根，則：
$\left\{\begin{array}{l}{a＞0}\\{a≠1}\\{△=（2a-1）^{2}-4a（3-3a）≥0}\\{\frac{1-2a+\sqrt{（2a-1）^{2}-4a（3-3a）}}{2a}＞3}\end{array}\right.$；
解得$0＜a≤\frac{2-\sqrt{3}}{4}$；
∴a的取值范圍為：（0，$\frac{2-\sqrt{3}}{4}$]．

點評 考查函數(shù)單調性的定義，以及根據(jù)函數(shù)單調性判斷并證明一個函數(shù)的單調性的方法和過程，作差法比較f（x₁），f（x₂），以及對數(shù)函數(shù)的單調性，對數(shù)的運算，一元二次方程有解時判別式△的取值情況，以及一元二次方程的求根公式．