Question

2．已知函數(shù)f（x）=$\frac{{x}^{2}}{1+{x}^{2}}$．
（1）分別求出f（2），f（$\frac{1}{2}$），f（3），f（$\frac{1}{3}$）的值；
（2）根據(jù)（1）中所求得的結(jié)果，寫出f（x）與f（$\frac{1}{x}$）之間滿足的等式關(guān)系，并證明這個等式關(guān)系．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)函數(shù)的解析式依次求出f（2），f（$\frac{1}{2}$），f（3），f（$\frac{1}{3}$）的值；
（2）由（1）歸納出f（x）與f（$\frac{1}{x}$）滿足的關(guān)系時，根據(jù)解析式化簡f（x）+f（$\frac{1}{x}$）即可．

解答 解：（1）由題意得，f（x）=$\frac{{x}^{2}}{1+{x}^{2}}$，
則f（2）=$\frac{4}{1+4}$=$\frac{4}{5}$，f（$\frac{1}{2}$）=$\frac{\frac{1}{4}}{1+\frac{1}{4}}$=$\frac{1}{5}$，
f（3）=$\frac{9}{10}$，f（$\frac{1}{3}$）=$\frac{\frac{1}{9}}{1+\frac{1}{9}}$=$\frac{1}{10}$；
（2）由（1）可得f（x）+f（$\frac{1}{x}$）=1，
證明如下：f（x）+f（$\frac{1}{x}$）=$\frac{{x}^{2}}{1+{x}^{2}}$+$\frac{\frac{1}{{x}^{2}}}{1+\frac{1}{{x}^{2}}}$
=$\frac{{x}^{2}}{1+{x}^{2}}$+$\frac{1}{1+{x}^{2}}$=$\frac{{x}^{2}+1}{1+{x}^{2}}$=1，
所以結(jié)論成立．

點評 本題考查函數(shù)值以及函數(shù)值的規(guī)律性，歸納推理的應用，考查化簡能力．