已知函數(shù)f（x）=cos2x+asinx．
（1）當a=2時，求函數(shù)f（x）的值域；
（2）若函數(shù)f（x）的最小值為-6，求實數(shù)a的值；
（3）若a∈R，求函數(shù)f（x）的最大值．
考點：三角函數(shù)的最值,三角函數(shù)中的恒等變換應用
專題：三角函數(shù)的求值
分析：（1）當a=2時，根據(jù)函數(shù)f（x）=-（sinx-1）2+2，-1≤sinx≤1，利用二次函數(shù)的性質(zhì)求得函數(shù)的值域．
（2）若函數(shù)f（x）=-(sinx-
a
2
)2+
a2
4
+1 的最小值為-6，分當a≤0和a＞0兩種情況，分別根據(jù)函數(shù)的最小值為-6，求得a的值，綜合可得結論．
（3）由于f（x）=-(sinx-
a
2
)2+
a2
4
+1 的對稱軸為x=
a
2
，再分對稱軸在區(qū)間[-1，1]的左側、中間、右側三種情況，分別利用二次函數(shù)的性質(zhì)求得函數(shù)的最大值．
解答： 解：（1）當a=2時，∵函數(shù)f（x）=cos2x+asinx=1-sin2x+2sinx+1=-（sinx-1）2+2，-1≤sinx≤1，
∴當sinx=1時，函數(shù)取得最大值為2，當sinx=-1時，函數(shù)取得最小值為-2，故函數(shù)的值域為[-2，2]．
（2）若函數(shù)f（x）=-sin2x+asinx+1=-(sinx-
a
2
)2+
a2
4
+1 的最小值為-6，
當a≤0時，由函數(shù)的最小值為-(-1-
a
2
)2+
a2
4
+1=-6，求得 a=-6．
當a＞0時，由函數(shù)的最小值為-(1-
a
2
)2+
a2
4
+1=-6，求得a=6．
綜上可得，a=±6．
（3）由于f（x）=-(sinx-
a
2
)2+
a2
4
+1 的對稱軸為x=
a
2
，
當
a
2
＜-1，即a＜-2時，函數(shù)f（x）的最大值為-(-1-
a
2
)2+
a2
4
+1=-a，
當-1≤
a
2
≤1，即-2≤a≤2時，函數(shù)f（x）的最大值為 
a2
4
+1，
當
a
2
＞2時，即a＞2時，-(1-
a
2
)2+
a2
4
+1=a．
點評：本題主要考查正弦函數(shù)的值域，二次函數(shù)的性質(zhì)，體現(xiàn)了轉化、分類討論的數(shù)學思想，屬于基礎題．
練習冊系列答案
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已知P（x，y），A（-1，0），向量
PA
與向量
m
=（1，1）共線．
（1）求y關于x的函數(shù)；
（2）已知點B（1，2），請在直線y=3x上找一點C，使得
PB
•
PC
＞0時x的取值集合為{x|x＜-1或x＞1}．

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如圖，在正方形內(nèi)有一扇形，扇形對應的圓心是正方形的一頂點，半徑為正方形的邊長．在這個圖形上隨機撒一粒黃豆，它落在陰影部分的概率為
 
．（用分數(shù)表示）

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集合A={2，5，8}，B={1，3，5，7}，那么A∪B=
 
．

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與雙曲線
x2
16
-
y2
9
=1有共同漸近線，且過點（4
2
，6）的雙曲線的標準方程是
 
．

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給出下列命題：
（1）導數(shù)f′（x0）=0是y=f（x）在x0處取得極值的既不充分也不必要條件；
（2）若等比數(shù)列的n項sn=2n+k，則必有k=-1；
（3）若x∈R+，則2x+2-x的最小值為2；
（4）函數(shù)y=f（x）在[a，b]上必定有最大值、最小值；
（5）平面內(nèi)到定點（3，-1）的距離等于到定直線x+2y-1的距離的點的軌跡是拋物線．
其中正確命題的序號是
 
．

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定義在R上的偶函數(shù)f（x）在區(qū)間[0，+∞）上單調(diào)遞增，且f（1）=0，則關于x的不等式f（x+1）＜0的解集是
 
．

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函數(shù)y=
15+7x-2x2
-lg（-x2+6x）的定義域為
 
．

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函數(shù)f（x）=
1
3
x3-4x+
1
3
的極大值為
 
．

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