Question

16．已知函數(shù)f（x）=x²-kx（k∈R），g（x）=lnx．
（1）若函數(shù)y=f（x）與y=g（x）的圖象有公共點(diǎn)，求實(shí)數(shù)k的取值范圍；
（2）設(shè)函數(shù)h（x）=f（x）-g（x），?a，b＞0（a≠b），若?c＞0，使得h′（c）=$\frac{h（a）-h（b）}{a-b}$，求證：$\sqrt{ab}$＜c＜$\frac{a+b}{2}$．

Answer 1

分析 （1）函數(shù)y=f（x）與y=g（x）的圖象有公共點(diǎn)⇒存在x＞0，使得x²-kx=lnx，即只需方程k=x-$\frac{inx}{x}$有解即可．
（2）h（x）=x²-kx-lnx，h′（x）=2x-$\frac{1}{x}$-k在（0，+∞）上單調(diào)增，
不妨設(shè)a＞b＞0，則$\sqrt{ab}＜c＜\frac{a+b}{2}$⇒h′（$\sqrt{ab}$）=h′（c）=$\frac{h（a）-h（b）}{a-b}$＜h′（$\frac{a+b}{2}$），
⇒$\left\{\begin{array}{l}{（a+b）-\frac{lna-lnb}{a-b}-k＜（a+b）-\frac{2}{a+b}-k\\;\\;\\;.\\;\\;…}\\{2\sqrt{ab}-\frac{1}{\sqrt{ab}}-k＜（a+b）-\frac{lna-lnb}{a-b}-k…}\end{array}\right.$
?$\frac{lna-lnb}{a-b}＞\frac{2}{a+b}$?$ln\frac{a}＞2\frac{a-b}{a+b}=2\frac{\frac{a}-1}{\frac{a}+1}$，
∵$a+b＞2\sqrt{ab}$恒成立，只需證明$\frac{1}{\sqrt{ab}}＞\frac{lna-lnb}{a-b}$?$ln\frac{a}＜\frac{a-b}{\sqrt{ab}}=\frac{\sqrt{a}}{\sqrt}-\frac{\sqrt}{\sqrt{a}}$，
令r=$\sqrt{\frac{a}}＞1$，構(gòu)造函數(shù)n（r）=2lnr-（r-$\frac{1}{r}$）  （r＞1），
求出函數(shù)n（r）的導(dǎo)數(shù)、單調(diào)性，即可證明結(jié)論．

解答 解：（1）由題意，存在x＞0，使得x²-kx=lnx，即k=x-$\frac{inx}{x}$，
令u（x）=x-$\frac{lnx}{x}$，則u′（x）=$\frac{{x}^{2}-1+lnx}{{x}^{2}}$，
令m（x）=x²-1+lnx，m（x）在（0，+∞）上單調(diào)遞增，
當(dāng)x∈（0，1）時(shí)，m（x）＜m（1）=0，u′（x）＜0，u（x）單調(diào)遞減．
當(dāng)x∈（1，+∞）時(shí)，m（x）＞m（1）=0，u′（x）＞0，u（x）單調(diào)遞增．
∴u（x）≥u（1）=1，
∴實(shí)數(shù)k的取值范圍：[1，+∞）．
（2）h（x）=x²-kx-lnx，h′（x）=2x-$\frac{1}{x}$-k在（0，+∞）上單調(diào)增，
不妨設(shè)a＞b＞0，則$\sqrt{ab}＜c＜\frac{a+b}{2}$⇒h′（$\sqrt{ab}$）=h′（c）=$\frac{h（a）-h（b）}{a-b}$＜h′（$\frac{a+b}{2}$），
⇒$\left\{\begin{array}{l}{（a+b）-\frac{lna-lnb}{a-b}-k＜（a+b）-\frac{2}{a+b}-k\\;\\;\\;.\\;\\;…}\\{2\sqrt{ab}-\frac{1}{\sqrt{ab}}-k＜（a+b）-\frac{lna-lnb}{a-b}-k…}\end{array}\right.$
?$\frac{lna-lnb}{a-b}＞\frac{2}{a+b}$?$ln\frac{a}＞2\frac{a-b}{a+b}=2\frac{\frac{a}-1}{\frac{a}+1}$，
令$\frac{a}=t＞1$，則構(gòu)造函數(shù)G（t）=lnt-2$\frac{t-1}{t+1}…（t＞1）$，
∵$a+b＞2\sqrt{ab}$恒成立，只需證明$\frac{1}{\sqrt{ab}}＞\frac{lna-lnb}{a-b}$?$ln\frac{a}＜\frac{a-b}{\sqrt{ab}}=\frac{\sqrt{a}}{\sqrt}-\frac{\sqrt}{\sqrt{a}}$，
令r=$\sqrt{\frac{a}}＞1$，構(gòu)造函數(shù)n（r）=2lnr-（r-$\frac{1}{r}$）  （r＞1），
函數(shù)n′（r）=-（$\frac{1}{r}-1$）² ＜0恒成立，函數(shù)n（r）在（1，+∞）上單調(diào)遞減，
∴n（r）＜n（1）=0，只需證明$ln\frac{a}＜\frac{a-b}{\sqrt{ab}}=\frac{\sqrt{a}}{\sqrt}-\frac{\sqrt}{\sqrt{a}}$成立，
故結(jié)論：$\sqrt{ab}$＜c＜$\frac{a+b}{2}$成立．

點(diǎn)評 本題考查了導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用，轉(zhuǎn)化思想是關(guān)鍵，屬于難題．