Question

3．滄州市第二中學辯論隊于2016年12月代表河北省參加第二屆京津中學生辯論賽，并獲得亞軍，現在辯論隊由3名男隊和5名隊員組成．
（1）學校為宣傳辯論隊取得的優(yōu)異成績，需要給全體隊員排隊照相，要求3名隊員互不相鄰，有多少種不同排法？
（2）將8名隊員分成四個小組，每個小組兩人，分別取高一1，2，3，4班四個班開座談會，有多少種不同的分組方式？
（3）為準備下次的比賽，現從從8名隊員中選出4名隊員做一辨、二辨、三辨、四辨，要求至少有一名男隊員，有多少種不同的選法？

Answer 1

分析 （1）直接利用插空排列方法求解；
（2）先把8名隊員平均分成4組，然后進行全排列得答案；
（3）利用間接法求出從8名隊員中選出4名隊員，且至少有一名男隊員的不同選法種數，進行全排列得答案．

解答 解：（1）先把5名女隊員全排列共${A}_{5}^{5}$種排法，再由3名男隊員插空排列，共${A}_{6}^{3}$種排法，
∴所有不同的排法種數為${A}_{5}^{5}•{A}_{6}^{3}=14400$種；
（2）將8名隊員分成四個小組，每個小組兩人，所有不同的分法種數為$\frac{{C}_{8}^{2}{C}_{6}^{2}{C}_{4}^{2}{C}_{2}^{2}}{4!}$，
分別去高一1，2，3，4班四個班開座談會，則不同的分組方式為$\frac{{C}_{8}^{2}{C}_{6}^{2}{C}_{4}^{2}{C}_{2}^{2}}{4!}•{A}_{4}^{4}=2520$種；
（3）從8名隊員中選出4名隊員，共有${C}_{8}^{4}$種不同選法，全是女生共有${C}_{5}^{4}$種，則從8名隊員中選出4名隊員，至少有一名男隊員的選法為${C}_{8}^{4}-{C}_{5}^{4}$種，然后做一辨、二辨、三辨、四辨需全排列，則不同的選法種數為$（{C}_{8}^{4}-{C}_{5}^{4}）•{A}_{4}^{4}=1560$種．

點評 本題考查排列與組合，訓練了插空排列方法的應用，考查平均分配問題，是中檔題．