Question

8．已知函數(shù)f（x）=ln（x+a）-x²-x在x=0處取得極值．
（1）求a的值；
（2）求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（3）若關(guān)于x的方程f（x）=-$\frac{5}{2}$x+b在區(qū)間（0，2）有兩個(gè)不等實(shí)根，求實(shí)數(shù)b的取值范圍；
（4）對(duì)于n∈N^*，證明：$\frac{2}{1^2}+\frac{3}{2^2}+\frac{4}{3^2}+…+\frac{n+1}{n^2}＞ln（n+1）$．

Answer 1

分析 （1）由函數(shù)f（x在x=0處取得極值，則有f'（x）=0，從而求解；
（2）由由f'（x）＞0得增區(qū)間；由f'（x）＜0得減區(qū)間；
（3）將方程f（x）=-$\frac{5}{2}$x+b轉(zhuǎn)化為g（x）=f（x）-（-$\frac{5}{2}$x+b），利用根的分布求解；
（4）由（2）可知當(dāng)x≥0時(shí)ln（x+1）≤x²+x（當(dāng)且僅當(dāng)x=0時(shí)等號(hào)成立），可得到ln$\frac{n+1}{n}$＜$\frac{n+1}{{n}^{2}}$，求得前n項(xiàng)不等式，采用累加法及對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì)，即可證明不等式成立．

解答 解：（1）由已知得f′（x）=$\frac{1}{x+a}$-2x-1=$\frac{1-2x（x+a）-（x+a）}{x+a}$，
∵f'（x）=0，∴$\frac{1-a}{a}$=0∴a=1，
（2）由（1）得f′（x）=$\frac{-2x（x+\frac{3}{2}）}{x+1}$，（x＞-1）
由f'（x）＞0得-1＜x＜0，由f'（x）＜0得x＞0，
∴f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間為（-1，0），單調(diào)遞減區(qū)間為（0，+∞）；
（3）令g（x）=f（x）-（-$\frac{5}{2}$x+b）=ln（x+1）-x²+$\frac{3}{2}$x-b，x∈（0，2）
則g′（x）=$\frac{1}{x+1}$-2x+$\frac{3}{2}$=-$\frac{2（x+\frac{5}{4}）（x-1）}{x+1}$，
令g'（x）=0得x=1或x=-$\frac{5}{4}$（舍），
當(dāng)0＜x＜1時(shí)g'（x）＞0，當(dāng)1＜x＜2時(shí)g'（x）＜0，
即g（x）在（0，1）上遞增，在（1，2）上遞減，
方程f（x）=-$\frac{5}{2}$x+b在區(qū)間（0，2）上有兩個(gè)不等實(shí)根，
等價(jià)于函數(shù)g（x）在（0，2）上有兩個(gè)不同的零點(diǎn)，
∴$\left\{\begin{array}{l}{g（0）＜0}\\{g（1）＞0}\\{g（2）＜0}\end{array}\right.$⇒$\left\{\begin{array}{l}{-b＜0}\\{ln2+\frac{1}{2}-b＞0}\\{ln3-1-b＜0}\end{array}\right.$⇒$\left\{\begin{array}{l}{b＞0}\\{b＜ln2+\frac{1}{2}}\\{b＞ln3-1}\end{array}\right.$，
∴l(xiāng)n3-1＜b＜ln2+$\frac{1}{2}$，
即實(shí)數(shù)b的取值范圍為ln3-1＜b＜ln2+$\frac{1}{2}$；
（4）由（2）可得，
證明：（3）由（1）可得，當(dāng)x≥0時(shí)ln（x+1）≤x²+x（當(dāng)且僅當(dāng)x=0時(shí)等號(hào)成立），
設(shè)x=$\frac{1}{n}$，則ln（1+$\frac{1}{n}$）＜$\frac{1}{{n}^{2}}$+$\frac{1}{n}$，即ln $\frac{n+1}{n}$＜$\frac{n+1}{{n}^{2}}$①，
∴$\frac{2}{{1}^{2}}$＞ln$\frac{2}{1}$，$\frac{3}{{2}^{2}}$＞ln$\frac{3}{2}$，$\frac{4}{{3}^{2}}$＞ln$\frac{4}{3}$，…，$\frac{n+1}{{n}^{2}}$＞ln $\frac{n+1}{n}$，
將上面n個(gè)式子相加得：$\frac{2}{{1}^{2}}$+$\frac{3}{{2}^{2}}$+$\frac{4}{{3}^{2}}$+…+$\frac{n+1}{{n}^{2}}$＞ln$\frac{2}{1}$+ln$\frac{3}{2}$+ln$\frac{4}{3}$+…+ln $\frac{n+1}{n}$=ln（n+1），
故：$\frac{2}{1^2}+\frac{3}{2^2}+\frac{4}{3^2}+…+\frac{n+1}{n^2}＞ln（n+1）$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性極值與最值、方程的實(shí)數(shù)根轉(zhuǎn)化為函數(shù)圖象與x軸的交點(diǎn)的問(wèn)題，同時(shí)考查了利用構(gòu)造函數(shù)法證明不等式，考查了推理能力與計(jì)算能力，是一道綜合題，屬于難題．