Question

以F₁（-1，0）、F₂（1，0）為焦點且與直線x-y+3=0有公共點的橢圓中，離心率最大的橢圓方程是

 

．

Answer 1

分析：設(shè)出橢圓的方程為

x2

b2+1

+

y2

b2

=1，求出離心率的平方，將直線方程代入橢圓方程得得到的關(guān)于x的一元二次方程的判別式大于0，求出 b² 的最小值，此時的離心率最大，離心率最大的橢圓方程可得．

解答：解：由題意知，c=1，a²-b²=1，故可設(shè)橢圓的方程為

x2

b2+1

+

y2

b2

=1，
離心率的平方為

1

b2+1

   ①，∵直線x-y+3=0與橢圓有公共點，將直線方程代入橢圓方程得
（2b²+1）x²+6（b²+1）x+8b²+9-b⁴=0，由△=36（b⁴+2b²+1）-4（2b²+1）（ 8b²+9-b⁴ ）≥0，
∴b⁴-3b²-4≥0，∴b²≥4，或 b²≤-1 （舍去），∴b² 的最小值為4，
∴①的最大值為

1

5

，此時，a²=b²+1=5，
∴離心率最大的橢圓方程是

x2

5

+

y2

4

=1，
故答案為：

x2

5

+

y2

4

=1．

點評：本題考查橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程和簡單性質(zhì)，利用直線和橢圓有交點可得判別式大于或等于0．