已知曲線C的方程為y2=4x(x>0),曲線E是以F1(-1,0)、F2(1,0)為焦點的橢圓,點P為曲線C與曲線E在第一象限的交點,且|PF2|=
53

(1)求曲線E的標(biāo)準(zhǔn)方程;
(2)直線l與橢圓E相交于A,B兩點,若AB的中點M在曲線C上,求直線l的斜率k的取值范圍.
分析:(1)設(shè)橢圓方程為
x2
a2
+
y2
b2
=1(a>b>0)
,由題意得c,由|PF2|=
5
3
及拋物線定義可得P點橫坐標(biāo),代入拋物線方程得縱坐標(biāo),由橢圓定義可得a,由b2=a2-c2可得b;.
(2)設(shè)直線l與橢圓E交點A(x1,y1),B(x2,y2),A,B的中點F2的坐標(biāo)為(x0,y0),設(shè)直線方程為y=kx+m(k≠0,m≠0)與
x2
4
+
y2
3
=1
聯(lián)立,得(3+4k2)x2+8kmx+4m2-12=0,由△>0,得4k2-m2+3>0①,由韋達定理得AB的中點(
-4km
3+4k2
,
3m
3+4k2
),代入曲線C的方程為y2=4x(x>0),得9m=-16k(3+4k2),再與①聯(lián)立能求出直線l的斜率k的取值范圍.
解答:解:(1)設(shè)橢圓方程為
x2
a2
+
y2
b2
=1(a>b>0)
,
依題意,c=1,|PF2|=
5
3
,利用拋物線的定義可得xP-(-1)=
5
3
,解得xP=
2
3

∴P點的坐標(biāo)為(
2
3
 , 
2
6
3
)
,所以|PF1|=
7
3
,
由橢圓定義,得2a=|PF1|+|PF2|=
7
3
+
5
3
=4,a=2

∴b2=a2-c2=3,
所以曲線E的標(biāo)準(zhǔn)方程為
x2
4
+
y2
3
=1

(2)設(shè)直線l與橢圓E的交點A(x1,y1),B(x2,y2),A,B的中點M的坐標(biāo)為(x0,y0),
設(shè)直線l的方程為y=kx+m(k≠0,m≠0),
x2
4
+
y2
3
=1
聯(lián)立,得(3+4k2)x2+8kmx+4m2-12=0,
由△>0得4k2-m2+3>0①,
由韋達定理得,x1+x2=
-8km
3+4k2
x1x2=
4m2-12
3+4k2
,
則x0=
-4km
3+4k2
,y0=kx0+m=
3m
3+4k2
,
將中點(
-4km
3+4k2
,
3m
3+4k2
)代入曲線C的方程為y2=4x(x>0),
整理,得9m=-16k(3+4k2),②
將②代入①得162k2(3+4k2)<81,
令t=4k2(t>0),
則64t2+192t-81<0,解得0<t<
3
8
,
∴-
6
8
<k<
6
8

所以直線l的斜率k的取值范圍為-
6
8
<k<
6
8
點評:本題考查曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程的求法,考查直線的斜率的取值范圍的求法,解題時要認(rèn)真審題,注意等價轉(zhuǎn)化思想的合理運用.
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