Question

7．若x、y滿足$\left\{\begin{array}{l}y≥\frac{1}{2}x\\ y≤2x\\ x+4y≤9\end{array}\right.$，且z=x-ay的最大值為4，則實(shí)數(shù)a的值為$-\frac{2}{3}$．

Answer 1

分析 作出不等式對(duì)應(yīng)的平面區(qū)域，利用線性規(guī)劃的知識(shí)，結(jié)合目標(biāo)函數(shù)z=x-ay（a＞0）的最大值為4，然后根據(jù)條件即可求出a的值．

解答 解：作出不等式組$\left\{\begin{array}{l}y≥\frac{1}{2}x\\ y≤2x\\ x+4y≤9\end{array}\right.$，對(duì)應(yīng)的平面區(qū)域如圖：（陰影部分）．
由z=x-ay的最大值為4，得y=$\frac{1}{a}$x-$\frac{z}{a}$，
當(dāng)a＞0，∴目標(biāo)函數(shù)的斜率k=$\frac{1}{a}$＞0，
平移直線y=$\frac{1}{a}$x-$\frac{z}{a}$，
由圖象可知當(dāng)直線y=$\frac{1}{a}$x-$\frac{z}{a}$經(jīng)過點(diǎn)B時(shí)，直線的截距最大，此時(shí)z最大為4，即x-ay=4．
由$\left\{\begin{array}{l}{y=2x}\\{x+4y=9}\end{array}\right.$，得（1，2），
此時(shí)1-2a=4．
解得a=-$\frac{3}{2}$．舍去
當(dāng)a＜0，目標(biāo)函數(shù)的斜率k=$\frac{1}{a}$＜0，
平移直線y=$\frac{1}{a}$x-$\frac{z}{a}$，
由圖象可知當(dāng)直線y=$\frac{1}{a}$x-$\frac{z}{a}$經(jīng)過點(diǎn)A時(shí)，直線的截距最大為4，即x-ay=4．
由$\left\{\begin{array}{l}{y=\frac{1}{2}x}\\{x+4y=9}\end{array}\right.$，得（3，$\frac{3}{2}$），
此時(shí)3-$\frac{3}{2}$a=4．
解得a=-$\frac{2}{3}$．
故答案為：$-\frac{2}{3}$．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查線性規(guī)劃的應(yīng)用，利用數(shù)形結(jié)合是解決線性規(guī)劃問題中的基本方法．