【題目】已知平面上兩定點(diǎn)M(0,﹣2)、N(0,2),P為一動(dòng)點(diǎn),滿足||||
(I)求動(dòng)點(diǎn)P的軌跡C的方程;
(II)若A、B是軌跡C上的兩不同動(dòng)點(diǎn),且λ.分別以A、B為切點(diǎn)作軌跡C的切線,設(shè)其交點(diǎn)Q,證明為定值.
【答案】(I)x2=8y
(II)見(jiàn)解析
【解析】
(I)先設(shè)P(x,y),求動(dòng)點(diǎn)P的軌跡C的方程,即尋找x,y之間的關(guān)系,結(jié)合向量的坐標(biāo)運(yùn)算即可得到.
(II)先設(shè)出A,B兩點(diǎn)的坐標(biāo),利用向量關(guān)系及向量運(yùn)算法則,用A,B的坐標(biāo)表示出,最后看其是不是定值即可.
(I)設(shè)P(x,y).
由已知 (x,y+2),(0,4),(﹣x,2﹣y),
4y+8.
||||=4
∵||||
∴4y+8=4整理,得x2=8y
即動(dòng)點(diǎn)P的軌跡C為拋物線,其方程為x2=8y.
(II)由已知N(0,2).
即得(﹣x1,2﹣y1)=λ(x2,y2﹣2)
設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2).由λ
即得(﹣x1,2﹣y1)=λ(x2,y2﹣2),
∴﹣x1=λx2…(1),
2﹣y1=λ(y2﹣2)…(2)
將(1)式兩邊平方并把x12=8y1,x2/span>2=8y2代入得y1=y2
解得 y1=2λ,y2,
且有x1x2=﹣λx22=﹣8λy2=﹣16.
拋物線方程為 y=,求導(dǎo)得y′x.
所以過(guò)拋物線上A、B兩點(diǎn)的切線方程分別是 yx1(x﹣x1)+y1,yx2(x﹣x2)+y2,
即yx1xx12,yx2xx22
解出兩條切線的交點(diǎn)Q的坐標(biāo)為 (,)=(,﹣2)
所以 (,﹣4)(x2﹣x1,y1﹣y2)
(x22﹣x12)﹣4(x22x12)=0
所以 為定值,其值為0.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知f(x)是定義在上的單調(diào)函數(shù),且對(duì)任意的x∈都有,則方程的一個(gè)根所在的區(qū)間是( )
A. (0,1) B. (1,2) C. (2,3) D. (3,4)
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知函數(shù).
(1)當(dāng)時(shí),討論的零點(diǎn)情況;
(2)當(dāng)時(shí),記在上的最小值為m,求證:.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】在如圖所示的幾何體中,四邊形是菱形,四邊形是矩形,平面平面,,,,為的中點(diǎn),為線段上的一點(diǎn).
(1)求證:;
(2)若二面角的大小為,求的值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】[選修4―4:坐標(biāo)系與參數(shù)方程]
在直角坐標(biāo)系xOy中,曲線C的參數(shù)方程為(θ為參數(shù)),直線l的參數(shù)方程為.
(1)若a=1,求C與l的交點(diǎn)坐標(biāo);
(2)若C上的點(diǎn)到l的距離的最大值為,求a.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】關(guān)于函數(shù)有下列四個(gè)結(jié)論:
①是偶函數(shù);②的最小正周期為;③在上單調(diào)遞增;④的值域?yàn)?/span>.
上述結(jié)論中,正確的為( )
A.③④B.②④C.①③D.①④
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,某園林單位準(zhǔn)備綠化一塊直徑為BC的半圓形空地,△ABC外的地方種草,△ABC的內(nèi)接正方形PQRS為一水池,其余的地方種花.若BC=a,∠ABC=,設(shè)△ABC的面積為S1,正方形的面積為S2.
(1)用a,表示S1和S2;
(2)當(dāng)a固定,變化時(shí),求取最小值時(shí)的角.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知點(diǎn)為拋物線的焦點(diǎn),過(guò)點(diǎn)任作兩條互相垂直的直線,,分別交拋物線于,,,四點(diǎn),,分別為,的中點(diǎn).
(1)求證:直線過(guò)定點(diǎn),并求出該定點(diǎn)的坐標(biāo);
(2)設(shè)直線交拋物線于,兩點(diǎn),試求的最小值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知函數(shù).
(1)若曲線在處切線與坐標(biāo)軸圍成的三角形面積為,求實(shí)數(shù)的值;
(2)若,求證:.
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