Question

已知數(shù)列{a_n}是公差為2的等差數(shù)列，其前n項(xiàng)和為S_n，且a₁，a₄，a₁₆成等比數(shù)列．
（1）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（2）求{

1

Sn

}的前n項(xiàng)和T_n．

Answer 1

分析：（1）由題意可得 (a1+6)2=a₁ （a₁+30），求得a₁=2，從而求得a_n=2n．
（2）先求得 S_n 的解析式，從而求得

1

Sn

=

1

n

-

1

n+1

，再用裂項(xiàng)法求得{

1

Sn

}的前n項(xiàng)和T_n．

解答：解：（1）∵數(shù)列{a_n}是公差為2的等差數(shù)列，a₁，a₄，a₁₆成等比數(shù)列，
∴(a1+6)2=a₁ （a₁+30），解得 a₁=2，故a_n=2n．
（2）∵S_n =

n(2+2n)

2

=n（n+1），
∴

1

Sn

=

1

n(n+1)

=

1

n

-

1

n+1

，
∴{

1

Sn

}的前n項(xiàng)和T_n =（

1

1

-

1

2

）+（

1

2

-

1

3

）+…+（

1

n

-

1

n+1

）=1-

1

n+1

=

n

n+1

．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查等比數(shù)列的定義和性質(zhì)，等差數(shù)列的通項(xiàng)公式，用裂項(xiàng)法進(jìn)行數(shù)列求和，屬于中檔題．