Question

已知點(diǎn)M（-2，0），N（2，0），動(dòng)點(diǎn)P滿足條件．記動(dòng)點(diǎn)P的軌跡為W．若A，B是W上的不同兩點(diǎn)，O是坐標(biāo)原點(diǎn)．
（1）求W的方程；
（2）若AB的斜率為2，求證為定值．
（3）求的最小值．

Answer 1

【答案】分析：（1）據(jù)題意應(yīng)為雙曲線一支，由，能得到曲線方程．
（2）設(shè)AB：y=2x+b，將其代入x²-y²=2，得3x²+4bx+b²+2=0，設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），由韋達(dá)定理能夠證明為定值．
（3）法一：當(dāng)直線AB的斜率不存在時(shí)，設(shè)直線AB的方程為x=x，此時(shí)A（x，），B（x，-），=2．當(dāng)直線AB的斜率存在時(shí)，設(shè)直線AB的方程為y=kx+b，代入雙曲線方程中，得：（1-k²）x²-2kbx-b²-2=0．依題意知，由此能夠解得的最小值為2．
法二：，A，B在右支，故x₁，x₂＞0，=．由此能夠解得的最小值為2．
解答：解：（1）據(jù)題意應(yīng)為雙曲線一支，
，
∴曲線方程為x²-y²=2（x≥）．（2分）
（2）設(shè)AB：y=2x+b，
將其代入x²-y²=2，得3x²+4bx+b²+2=0…（1）
設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
則x₁，x₂為（1）的兩根．，
=，是定值．（8分）
（3）法一：當(dāng)直線AB的斜率不存在時(shí)，
設(shè)直線AB的方程為x=x，
此時(shí)A（x，），B（x，-），=2
當(dāng)直線AB的斜率存在時(shí)，
設(shè)直線AB的方程為y=kx+b，
代入雙曲線方程中，
得：（1-k²）x²-2kbx-b²-2=0
依題意可知方程1？有兩個(gè)不相等的正數(shù)根，
設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
則，
解得|k|＞1，
又=x₁x₂+y₁y₂=x₁x₂+（kx₁+b）（kx₂+b）
=（1+k²）x₁x₂+kb（x₁+x₂）+b²=＞2   
  綜上可知的最小值為2（14分）
法二：，A，B在右支，
故x₁，x₂＞0，

=
≥
=|y₁y₂|+2+y₁y₂≥2，y₁=-y₂時(shí)，“=”成立，
故的最小值為2．
點(diǎn)評(píng)：本題主要考查直線與圓錐曲線的綜合應(yīng)用能力，具體涉及到軌跡方程的求法及直線與雙曲線的相關(guān)知識(shí)，解題時(shí)要注意合理地進(jìn)行等價(jià)轉(zhuǎn)化．