Question

已知函數f（x）=-x+log₂

1-x

1+x

．
（1）求f（

1

2013

）+f（-

1

2013

）的值；
（2）當x∈（-a，a]，其中a∈（0，1]，a是常數，函數f（x）是否存在最小值？若存在，求出f（x）的最小值；若不存在，請說明理由．

Answer 1

考點：函數的最值及其幾何意義

專題：計算題,函數的性質及應用

分析：（1）由

1-x

1+x

＞0求得函數f（x）的定義域，再根據f（-x）=-f（x），可得f（x）為奇函數，即f（-x）+f（x）=0，從而得到f（

1

2013

）+f（-

1

2013

）的值．
（2）任取-1＜x₁＜x₂＜1，求得f（x₂）-f（x₁）＜0，即 f（x₂）＜f（x₁），可得函數f（x）在其定義域（-1，1）上是減函數，從而求得函數f（x）在（-a，a]上的最小值．

解答： 解：（1）由

1-x

1+x

＞0，得（x+1）（x-1）＜0，
解得-1＜x＜1．
∴函數f（x）的定義域為（-1，1）．
又∵f（-x）=x+log₂

1+x

1-x

=x-log₂

1-x

1+x

=-f（x）．
∴函數f（x）為奇函數，即f（-x）+f（x）=0，
∴f（

1

2013

）+f（-

1

2013

）=0．
（2）存在最小值，任取x₁、x₂∈（-1，1）且設x₁＜x₂，
則f（x₂）-f（x₁）=（x₁-x₂）+log₂

1-x2

1+x2

-log₂

1-x1

1+x1

，
易知f（x₂）-f（x₁）＜0，
∴函數f（x）為（-1，1）上的減函數，
又x∈（-a，a]且a∈（0，1]，
∴f（x）_min=f（a）=-a+log₂

1-a

1+a

．

點評：本題主要考查對數函數的圖象和性質綜合應用，函數的奇偶性、單調性的判斷和證明，屬于中檔題．