Question

（文）已知f（x）=ax³+3x²-x+1，a∈R．
（1）若f（x）的曲線在x=1處的切線與直線y=x+1垂直，求a的值及切線方程；
（2）若對(duì)?x∈R對(duì)，不等式f'（x）≤4x恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

考點(diǎn)：利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點(diǎn)切線方程

專題：計(jì)算題,導(dǎo)數(shù)的概念及應(yīng)用,不等式的解法及應(yīng)用

分析：（1）求出導(dǎo)數(shù)，由兩直線垂直得到f'（1）=3a+5=-1，即可得到a，和切點(diǎn)坐標(biāo)，切線方程；
（2）對(duì)?x∈R對(duì)，不等式f'（x）≤4x恒成立，等價(jià)為3ax²+2x-1≤0恒成立，則a＜0，且△≤0，解出即可得到a的范圍．

解答： （文）解：（1）f'（x）=3ax²+6x-1，
因?yàn)榍�線在x=1處的切線與直線y=x+1垂直，
所以f'（1）=3a+5=-1⇒a=-2，即f（x）=-2x³+3x²-x+1，
此時(shí)切點(diǎn)為（1，1），切線方程為x+y-2=0；
（2）因?yàn)閷?duì)?x∈R對(duì)，不等式f'（x）≤4x恒成立，
所以3ax²+2x-1≤0恒成立，
則a＜0，且△≤0，即有a＜0，且4+12a≤0，解得a≤-

1

3

．
故實(shí)數(shù)a的取值范圍是（-∞，-

1

3

]．

點(diǎn)評(píng)：本題考查導(dǎo)數(shù)的運(yùn)用：求切線方程，考查兩直線的位置關(guān)系及二次不等式恒成立問(wèn)題，注意二次項(xiàng)系數(shù)的符號(hào)，本題屬于基礎(chǔ)題．