Question

已知函數(shù)f（x）=

x2+a

x

，且f（1）=2，
（1）求函數(shù)的定義域及a的值；
（2）證明f（x）在（1，+∞）上是增函數(shù)；
（3）求函數(shù)f（x）在[2，5]上的最大值與最小值．

Answer 1

考點(diǎn)：函數(shù)單調(diào)性的判斷與證明,函數(shù)的定義域及其求法

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：（1）利用分母不為哦，直接寫(xiě)出定義域，通過(guò)f（1）=2，求出a的值；
（2）利用公式的單調(diào)性的定義直接證明f（x）在（1，+∞）上是增函數(shù)；
（3）利用（2）的結(jié)果，直接求函數(shù)f（x）在[2，5]上的最大值與最小值．

解答： （本小題滿分（14分），（1）（4分）；（2）（6分）；（3）4分）
解：（1）f（x）的定義域?yàn)閧x|x≠0}，關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，因?yàn)閒（1）=2，所以1+a=2，即a=1
（2）證明：任取x₁，x₂∈（1，+∞）且x₁＜x₂．
f（x₁）-f（x₂）=x₁+

1

x1

-（x₂+

1

x2

）
=（x₁-x₂）•

x1x2-1

x1x2

．
∵x₁＜x₂，且x₁x₂∈（1，+∞），
∴x₁-x₂＜0，x₁x₂＞1，
∴f（x₁）-f（x₂）＜0，所以f（x）在（1，+∞）上為增函數(shù)．
（3）由（2）知，f（x）在[2，5]上的最大值為f（5）=

26

5

，最小值為f（2）=

5

2

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查函數(shù)的定義域的求法，單調(diào)性的判斷與證明，單調(diào)性的應(yīng)用，考查計(jì)算能力．