Question

已知函數(shù)f(x)=ax²+bx（a≠0）的導(dǎo)函數(shù)f′(x)=-2x+7，數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和為S_n，點(diǎn)P(n，S_n)(n∈N*)均在函數(shù)y=f(x)的圖象上．
(1)求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式及S_n的最大值；
(2)令，其中n∈N*，求{nb_n}的前n項(xiàng)和．

Answer 1

解：(1)因?yàn)閒(x)=ax²+bx(a≠0)，所以f′(x)=2ax+b，
由f′(x)=-2x+7得a=-1，b=7，
所以f(x)=-x²+7x，
又因?yàn)辄c(diǎn)P_n(n，S_n)(n∈N*)均在函數(shù)y=f(x)的圖象上，
所以有，
當(dāng)n=1時(shí)，；
當(dāng)n≥2時(shí)，，
所以，
令a_n=-2n+8≥0得n≤4，
所以當(dāng)n=3或n=4時(shí)，S_n取得最大值12；
綜上，a_n=-2n+8(n∈N*)，當(dāng)n=3或n=4時(shí)，S_n取得最大值12．
(2)由題意得，，
所以，即數(shù)列{b_n}是首項(xiàng)為8，公比為的等比數(shù)列，
故{nb_n}的前n項(xiàng)和，①
，②
所以①-②得，
所以。