已知函數(shù)f（x）=
1
x2
．
（1）判斷f（x）在區(qū)間（0，+∞）的單調(diào)性，并用定義證明；
（2）寫出函數(shù)f（x）=
1
x2
的單調(diào)區(qū)間．
分析：（1）f（x）在區(qū)間（0，+∞）為單調(diào)減函數(shù)，再利用減函數(shù)的定義進(jìn)行證明．
（2）根據(jù)f（x）的解析式，直接寫出單調(diào)區(qū)間．
解答：解：（1）f（x）在區(qū)間（0，+∞）為單調(diào)減函數(shù)．證明如下：
設(shè)0＜x1＜x2，f（x1）-f（x2）=
1
x12
-
1
x22 
=
x22-x12
x12•x22
=
(x2+x2)(x2-x1)    
x12•x22
．
因?yàn)?＜x1＜x2，所以（x1x2）2＞0，x2-x1＞0，x2+x1＞0，即
(x2+x2)(x2-x1)   
x12•x22
＞0．
所以f（x1）-f（x2）＞0，即所以f（x1）＞f（x2），f（x）在區(qū)間（0，+∞）為單調(diào)減函數(shù)．
（2）f（x）=
1
x2
 的單調(diào)減區(qū)間（0，+∞）；f（x）=
1
x2
的單調(diào)增區(qū)間（-∞，0）．
點(diǎn)評(píng)：本題主要考查函數(shù)的單調(diào)性的判斷和證明，屬于中檔題．
練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知函數(shù)f（x）=
1
|x|
，g（x）=1+
x+|x|
2
，若f（x）＞g（x），則實(shí)數(shù)x的取值范圍是（　�。�
A、（-∞，-1）∪（0，1）
B、(-∞，-1)∪(0，
-1+
5
2
)
C、(-1，0)∪(
-1+
5
2
，+∞)
D、(-1，0)∪(0，
-1+
5
2
)

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知函數(shù)f（x）=
1，x∈Q
0，x∉Q
，則f[f（π）]=（　　）

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知函數(shù)f（x）=
1-x
ax
+lnx(a＞0)
（1）若函數(shù)f（x）在[1，+∞）上為增函數(shù)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；
（2）當(dāng)a=1時(shí)，求f（x）在[
1
2
，2]上的最大值和最小值；
（3）當(dāng)a=1時(shí)，求證對(duì)任意大于1的正整數(shù)n，lnn＞
1
2
+
1
3
+
1
4
+…+
1
n
恒成立．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知函數(shù)f（x）=1+cos2x-2sin2（x-
π
6
），其中x∈R，則下列結(jié)論中正確的是（　�。�

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知函數(shù)f（x）=1+logax（a＞0，a≠1），滿足f（9）=3，則f-1（log92）的值是（　�。�

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