Question

5．函數(shù)f（x）=p（x-$\frac{1}{x}$），若f（x）≤$\frac{e}{x}$+lnx在[1，e]上恒成立，則實(shí)數(shù)p的取值范圍是（-∞，$\frac{2e}{{e}^{2}-1}$]．

Answer 1

分析 由題意并運(yùn)用參數(shù)分離可得p≤$\frac{e+xlnx}{{x}^{2}-1}$的最小值．令g（x）=$\frac{e+xlnx}{{x}^{2}-1}$（1≤x≤e），求出導(dǎo)數(shù)，判斷單調(diào)性，可得最小值，進(jìn)而得到p的范圍．

解答 解：f（x）≤$\frac{e}{x}$+lnx在[1，e]上恒成立即為
p（x-$\frac{1}{x}$）≤$\frac{e}{x}$+lnx對(duì)x∈[1，e]恒成立，
即有p≤$\frac{e+xlnx}{{x}^{2}-1}$的最小值．
令g（x）=$\frac{e+xlnx}{{x}^{2}-1}$（1≤x≤e），
則g′（x）=$\frac{-lnx•{x}^{2}-lnx-1+x（x-2e）}{（{x}^{2}-1）^{2}}$，
由1≤x≤e可得0≤lnx≤1，x-2e＜0，
即有g(shù)′（x）＜0，g（x）在[1，e]遞減，
則g（x）在[1，e]的最小值為g（e）=$\frac{2e}{{e}^{2}-1}$．
即有p≤$\frac{2e}{{e}^{2}-1}$．
故答案為：（-∞，$\frac{2e}{{e}^{2}-1}$]．

點(diǎn)評(píng) 本題考查不等式恒成立問題的解法，注意運(yùn)用參數(shù)分離和導(dǎo)數(shù)的運(yùn)用：求單調(diào)區(qū)間和最值，屬于中檔題和易錯(cuò)題．