Question

已知等差數(shù)列{a_n}為遞增數(shù)列，且a₂，a₅是方程x²-12x+27=0的兩根，數(shù)列{b_n}的前n項和Tn=1-

1

2

bn；
（1）求數(shù)列{a_n}和{b_n}的通項公式；
（2）若cn=

3n•bn

an•an+1

，s_n為數(shù)列{c_n}的前n項和，證明：s_n＜1

Answer 1

分析：（1）由韋達(dá)定理求出a₂、a₅，由數(shù)列是等差數(shù)列，求出數(shù)列a_n的公差和通項公式；由bn=

T1           n=1 Tn-Tn-1    n≥2

，求出數(shù)列b_n的通項公式；
（2）把數(shù)列a_n、b_n的通項公式代入數(shù)列c_n中，得出數(shù)列c_n的通項公式并化簡，從而求出其前項和，進(jìn)而證明不等式．

解答：解：（Ⅰ）由題意得a₂=3，a₅=9
公差d=

a5-a2

5-2

=2   （2分）
所以a_n=a₂+（n-2）d=2n-1  （4分）
由Tn=1-

1

2

bn得n=1時b1=

2

3

   
n≥2時bn=Tn-Tn-1=

1

2

bn-1-

1

2

bn（6分）
得bn=

1

3

bn-1所以bn=

2

3n

（8分）

（Ⅱ）由（Ⅰ）得cn=

3n•bn

anan+1

=

2

(2n-1)(2n+1)

=

1

2n-1

-

1

2n+1

∴s_n=c₁+c₂+c₃++c_n=(

1

1

-

1

3

)+(

1

3

-

1

5

)+(

1

5

-

1

7

)+…+(

1

2n-1

-

1

2n+1

)
=1-

1

2n+1

＜1(12分)
∴S_n＜1

點評：由數(shù)列前n項和求通項公式時，容易忽略n=1的情況；裂項求和也是重點方法，此題很好，屬中檔題．