【題目】設(shè)函數(shù)f(x)=lnx﹣ax(a∈R).
(1)若直線y=3x﹣1是函數(shù)f(x)圖象的一條切線,求實數(shù)a的值;
(2)若函數(shù)f(x)在[1,e2]上的最大值為1﹣ae(e為自然對數(shù)的底數(shù)),求實數(shù)a的值;
(3)若關(guān)于x的方程ln(2x2﹣x﹣3t)+x2﹣x﹣t=ln(x﹣t)有且僅有唯一的實數(shù)根,求實數(shù)t的取值范圍.
【答案】
(1)解:由f(x)=lnx﹣ax,得f′(x)= =3,
∴x= ,則f( )=ln ﹣ ,
∴l(xiāng)n ﹣ = -1,得ln =0,即a=﹣2
(2)解:f′(x)= ,
當(dāng)a≤ 時,f′(x)≥0在[1,e2]上恒成立,故f(x)在[1,e2]上為增函數(shù),
故f(x)的最大值為f(e2)=2﹣ae2=1﹣ae,得 (舍);
當(dāng) <a<1時,若x∈[1, ],f′(x)>0,x∈[ ,2],f′(x)<0,
故f(x)在[1,e2]上先增后減,故 ,
f(1)=﹣a,f(e2)=2﹣ae2,
即當(dāng) 時, ,得 (舍);
當(dāng) 時,f(x)max=﹣a=1﹣ae,得a= ;
當(dāng)a≥1時,故當(dāng)x∈[1,e2]時,f′(x)≤0,f(x)是[1,e2]上的減函數(shù),
故f(x)max=f(1)=﹣a=1﹣ae,得a= (舍);
綜上,a=
(3)ln(2x2﹣x﹣3t)+x2﹣x﹣t=ln(x﹣t)ln(2x2﹣x﹣3t) (2x2﹣x﹣3t)=ln(x﹣t) (x﹣t),
令g(x)=lnx+ ,則g(x)在(0,+∞)上是增函數(shù),
又g(2x2﹣x﹣3t)=g(x﹣t),
∴2x2﹣x﹣3t=x﹣t2(x2﹣x﹣t)=0,
即 ,
作出圖象如圖:由圖可知,實數(shù)t的取值范圍是t=﹣ 或0<t<2.
【解析】(1)求出原函數(shù)的導(dǎo)函數(shù),得到x= ,求出f( )=ln ﹣ ,代入直線y=3x﹣1求得a值;(2)求出原函數(shù)的導(dǎo)函數(shù),然后對a分類得到函數(shù)在[1,e2]上的單調(diào)性,并進一步求出函數(shù)在[1,e2]上的最大值,由最大值等于1﹣ae求得a值;(3)把ln(2x2﹣x﹣3t)+x2﹣x﹣t=ln(x﹣t)轉(zhuǎn)化為ln(2x2﹣x﹣3t) (2x2﹣x﹣3t)=ln(x﹣t) (x﹣t),構(gòu)造函數(shù)g(x)=lnx+ ,則g(x)在(0,+∞)上是增函數(shù),得到 ,畫出圖形,數(shù)形結(jié)合得答案.
【考點精析】解答此題的關(guān)鍵在于理解函數(shù)的最大(小)值與導(dǎo)數(shù)的相關(guān)知識,掌握求函數(shù)在上的最大值與最小值的步驟:(1)求函數(shù)在內(nèi)的極值;(2)將函數(shù)的各極值與端點處的函數(shù)值,比較,其中最大的是一個最大值,最小的是最小值.
科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】某人在連續(xù)7天的定點投籃的分數(shù)統(tǒng)計如下:在上述統(tǒng)計數(shù)據(jù)的分析中,一部分計算如右圖所示的算法流程圖(其中 是這7個數(shù)據(jù)的平均數(shù)),則輸出的S的值是( )
觀測次數(shù)i | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 |
觀測數(shù)據(jù)ai | 5 | 6 | 8 | 6 | 8 | 8 | 8 |
A.1
B.
C.
D.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】某校從高一年級學(xué)生中隨機抽取100名學(xué)生,將他們期中考試的數(shù)學(xué)成績(均為整數(shù))分成六段:[40,50),[50,60),…,[90,100]后得到頻率分布直方圖(如圖所示).則分數(shù)在[70,80)內(nèi)的人數(shù)是 .
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知拋物線的頂點在原點,過點A(-4,4)且焦點在x軸.
(1)求拋物線方程;
(2)直線l過定點B(-1,0)與該拋物線相交所得弦長為8,求直線l的方程.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】在平面直角坐標系中,已知點A(2,0),B(0,2),C(cosα,sinα).
(1)若 ,且α∈(0,π),求角α的值;
(2)若 ,求 的值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】設(shè)函數(shù)f(x)=2lnx﹣ ﹣m,若關(guān)于x的方程f(f(x))=x恰有兩個不相等的實數(shù)根,則m的取值范圍是( )
A.(2ln3﹣4,+∞)
B.(﹣∞,2ln3﹣4)
C.(﹣4,+∞)
D.(﹣∞,﹣4)
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù)f(x)=2.5cos(ωx+φ)(ω>0,|φ|< )的部分圖象如圖所示,M、N兩點之間的距離為13,且f(3)=0,若將函數(shù)f(x)的圖象向右平移t(t>0)個單位長度后所得函數(shù)的圖象關(guān)于坐標原點對稱,則t的最小值為( )
A.7
B.8
C.9
D.10
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖是2017年第一季度五省GDP情況圖,則下列陳述中不正確的是( 。
A. 2017年第一季度總量和增速由高到低排位均居同一位的省只有1個
B. 與去年同期相比,2017年第一季度五個省的總量均實現(xiàn)了增長
C. 去年同期河南省的總量不超過4000億元
D. 2017年第一季度增速由高到低排位第5的是浙江省
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