Question

7．已知函數(shù)f（x）=$\overrightarrow a$•$\overrightarrow b$（a≠0）滿足$\overrightarrow a$=（x²，c），$\overrightarrow b$=（1，x），且f（1）=2，令g（x）=f（x）-|λx-1|（λ＞0）．
（1）求函數(shù)f（x）的表達式；
（2）求函數(shù)g（x）的單調區(qū)間；
（3）研究函數(shù)g（x）在區(qū)間（0，1）上的零點個數(shù)．

Answer 1

分析 （1）f（x）=$\overrightarrow a$•$\overrightarrow b$=x²+cx，故f（1）=1+c=2，求出c值，可得函數(shù)f（x）的表達式；
（2）g（x）=f（x）-|λx-1|=$\left\{\begin{array}{l}{x}^{2}+（1+λ）x-1，x＜\frac{1}{λ}\\{x}^{2}+（1-λ）x+1，x≥\frac{1}{λ}\end{array}\right.$，（λ＞0）．結合二次函數(shù)的圖象和性質，可得函數(shù)g（x）的單調區(qū)間；
（3）函數(shù)g（x）在區(qū)間（0，1）上的零點個數(shù)即f（x）=x²+x和y=|λx-1|的圖象交點的個數(shù)，數(shù)形結合，可得答案．

解答 解：（1）∵$\overrightarrow a$=（x²，c），$\overrightarrow b$=（1，x），
∴f（x）=$\overrightarrow a$•$\overrightarrow b$=x²+cx，
∵f（1）=1+c=2，
解得：c=1，
∴f（x）=x²+x，
（2）g（x）=f（x）-|λx-1|=$\left\{\begin{array}{l}{x}^{2}+（1+λ）x-1，x＜\frac{1}{λ}\\{x}^{2}+（1-λ）x+1，x≥\frac{1}{λ}\end{array}\right.$，（λ＞0）．
當λ≤2時，函數(shù)g（x）的單調遞減區(qū)間為（-∞，$-\frac{1+λ}{2}$]，單調遞增區(qū)間為[$-\frac{1+λ}{2}$，+∞）；
當λ＞2時，函數(shù)g（x）的單調遞減區(qū)間為（-∞，$-\frac{1+λ}{2}$]，[$\frac{1}{λ}$，$\frac{λ-1}{2}$]，單調遞增區(qū)間為[$-\frac{1+λ}{2}$，$\frac{1}{λ}$]，[$\frac{λ-1}{2}$，+∞）；
（3）令g（x）=f（x）-|λx-1|=0，
則f（x）=|λx-1|，
在同一坐標系中畫出f（x）=x²+x和y=|λx-1|的圖象如下圖所示：

當λ=3時，y=3x-1與y=x²+x切于（1，2）點，
故由圖可得：λ＞3時，f（x）=x²+x和y=|λx-1|的圖象在區(qū)間（0，1）上有兩個交點，
即函數(shù)g（x）在區(qū)間（0，1）上有兩個零點
0＜λ≤3時，f（x）=x²+x和y=|λx-1|的圖象在區(qū)間（0，1）上有一個交點，
即函數(shù)g（x）在區(qū)間（0，1）上有一個零點．

點評 本題考查的知識點是數(shù)形結合思想，分類討論思想，轉化思想，函數(shù)的零點個數(shù)及判斷，向量的數(shù)量積，函數(shù)的單調性，難度中檔．