Question

過點(diǎn)P（0，2）的直線L與拋物線y²=2x有且只有一個(gè)公共點(diǎn)，則直線L的方程是________．

Answer 1

分析：設(shè)直線L的斜率等于k，則當(dāng) k=0時(shí)，直線l與其對(duì)稱軸平行，所以此時(shí)直線與拋物線只有一個(gè)公共點(diǎn)；再討論直線與拋物線相切的情況，注意要分斜率存在于斜率不存在兩種情況討論．
解答：①設(shè)直線L的斜率存在且等于k，
則當(dāng) k=0時(shí)，直線L的方程為 y=2，滿足直線與拋物線y²=2x僅有一個(gè)公共點(diǎn)；
當(dāng)k≠0時(shí)，直線L是拋物線的切線，設(shè)直線L的方程為 y=kx+2，
代入拋物線的方程可得：k²x²+（4k-2）x+4=0，
由△=（4k-2）²-4k²•4=0得 k=，故切線方程為y=x+2．
②當(dāng)斜率不存在時(shí)，直線方程為x=0，經(jīng)過檢驗(yàn)可得此時(shí)直線也與拋物線y²=2x相切．
故答案為：y=2，或 x=0，或y=x+2．
點(diǎn)評(píng)：本題考查直線與圓錐曲線的關(guān)系，解決本題的關(guān)鍵是熟練掌握只有一個(gè)公共點(diǎn)的概念，即直線與拋物線相切或者直線與拋物線的對(duì)稱軸平行，易錯(cuò)點(diǎn)在于忽視與對(duì)稱軸平行的情況，屬于中檔題．．