Question

已知定點(diǎn)Q（2，-1），F(xiàn)為拋物線y²=4x的焦點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)P為拋物線上任意一點(diǎn)，當(dāng)|PQ|+|PF|取最小值時(shí)P的坐標(biāo)為

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：拋物線的簡(jiǎn)單性質(zhì)

專題：圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：作PM⊥準(zhǔn)線x=-1，交準(zhǔn)線于M點(diǎn)，由拋物線定義和兩點(diǎn)間線段最短，知：當(dāng)M，P，Q三點(diǎn)線時(shí)，|PQ|+|PF|=|PQ|+|PM|取最小值，由此能求出結(jié)果．

解答： 解：如圖，作PM⊥準(zhǔn)線x=-1，交準(zhǔn)線于M點(diǎn)，
由拋物線定義知：|PF|=|PM|，
∴|PQ|+|PF|=|PQ|+|PM|，
∵點(diǎn)Q（2，-1）在拋物線y²=4x內(nèi)部，
∴由兩點(diǎn)間線段最短，知：當(dāng)M，P，Q三點(diǎn)線時(shí)，
∴|PQ|+|PF|=|PQ|+|PM|取最小值，
此時(shí)點(diǎn)P的縱坐標(biāo)y=-1，
把y=-1代入y²=4x，解得x=

1

4

，
∴當(dāng)|PQ|+|PF|取最小值時(shí)P的坐標(biāo)為(

1

4

，-1)．
故答案為：(

1

4

，-1)．

點(diǎn)評(píng)：本題考查兩條線段和取最小值對(duì)應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)的求法，是中檔題，解題時(shí)要熟練掌握拋物線的簡(jiǎn)單性質(zhì)，注意數(shù)形結(jié)合思想的合理運(yùn)用．