Question

已知f（x）對于任意實數(shù)x，y滿足f（x+y）=f（x）+f（y），當(dāng)x＞0時，f（x）＞0．
（1）求f（0）并判斷f（x）的奇偶性；
（2）判斷f（x）的單調(diào)性，并用定義加以證明．

Answer 1

考點：函數(shù)奇偶性的判斷,函數(shù)單調(diào)性的判斷與證明

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：（1）首先令x=y=0，得f（0）=f（0）+f（0），解得f（0）；然后令y=-x，得f（0）=f（x）+f（-x）=0，從而判斷f（-）與f（x）的關(guān)系；
（2）設(shè)x₁，x₂∈R，x₁＜x₂，利用f（x+y）=f（x）+f（y），將f（x₂）-f（x₁）=f[x₁+（x₂-x₁）]-f（x₁）變形，從而得到f（x₂）-f（x₁）與0的關(guān)系．

解答： 解：（1）令x=y=0，得f（0）=f（0）+f（0），∴f（0）=0
令y=-x，得f（0）=f（x）+f（-x）=0，
∴f（x）=-f（-x），
∴f（x）是奇函數(shù)…6分
（2）函數(shù)f（x）在R上是增函數(shù)．
證明如下：
設(shè)x₁，x₂∈R，x₁＜x₂，
∴x₂-x₁＞0，
由已知可得f（x₂-x₁）＞0，
∴f（x₂）-f（x₁）=f[x₁+（x₂-x₁）]-f（x₁）=f（x₁）+f（x₂-x₁）-f（x₁）=f（x₂-x₁）＞0
（或由（1）得f（x₂）-f（x₁）=f（x₂）+f（-x₁）=f（x₂-x₁）＞0）
∴f（x）在R上是增函數(shù)．…14分．

點評：本題考查了函數(shù)的奇偶性的判斷以及單調(diào)性的證明；對于抽象函數(shù)的奇偶性的判斷要充分利用抽象函數(shù)的等式，常用適當(dāng)?shù)刭x值判斷f（-x）與f（x）的關(guān)系．