Question

在長(zhǎng)方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，點(diǎn)P為棱AB的中點(diǎn)，且AB=2，，AD=1．
（I）求證：AB₁⊥平面A₁PD₁；
（II）求二面角A₁-D₁P-B₁的正切值；
（III）求點(diǎn)D到平面A₁D₁P的距離．

Answer 1

【答案】分析：（I）證明AB₁垂直平面A₁PD₁內(nèi)的兩條相交直線：A₁D₁、A₁P，即可證明AB₁⊥平面A₁PD₁；
（II）設(shè)AB₁∩A₁P=E，過(guò)E作棱D₁P的垂線EF，垂足為F，連接B₁F，說(shuō)明∠B₁FE為二面角A₁-D₁P-B₁的平面角，然后解三角形，求二面角A₁-D₁P-B₁的正切值；
（III）點(diǎn)D到平面A₁D₁P的距離轉(zhuǎn)化為點(diǎn)A到平面A₁D₁P的距離，然后求解即可．
解答：證明：（I）∵ABCD-A₁B₁C₁D₁是長(zhǎng)方體
∴A₁D₁⊥平面A₁ABB₁
且AB₁?平面A₁ABB₁
∴A₁D₁⊥AB₁
∵
AB=2，AP=1

在Rt△AB₁B中，tanB₁AB=
∴∠AA₁P=∠B₁AB
∵
∴∴A₁P⊥AB₁，又A₁D₁∩A₁P=A₁
∴AB₁⊥平面A₁PD₁（5分）

解：（II）設(shè)AB₁∩A₁P=E，∵AB₁⊥平面A₁PD₁∴B₁E⊥平面A₁PD₁
過(guò)E作棱D₁P的垂線EF，垂足為F，連接B₁F
則EF是B₁F在平面A₁PD₁內(nèi)的射影，由三垂線定理得B₁F⊥D₁P
∴∠B₁FE為二面角A₁-D₁P-B₁的平面角
∵在Rt△AEP中，EP=AP•sinEAP=
同理可得
又∵Rt△D₁A₁P∽R(shí)t△EFP
∴
∴
在Rt△B₁EF中，（10分）

（III）∵AD∥A₁D₁，且A₁D₁?平面A₁D₁P，AD?平面A₁D₁P
∴AD∥平面A₁D₁P
∴點(diǎn)D到平面A₁D₁P的距離等于點(diǎn)A到平面A₁D₁P的距離
∵AE⊥平面A₁D₁P
∴線段AE的長(zhǎng)為點(diǎn)A到平面A₁D₁P的距離
∵
∴點(diǎn)D到平面A₁D₁P的距離為（14分）
點(diǎn)評(píng)：本題考查直線與平面垂直的判定，二面角的求法，考查空間想象能力，邏輯思維能力，是中檔題．