Question

1．用0，1，2，3，4，5這六個(gè)數(shù)字
（1）組成多少個(gè)無(wú)重復(fù)數(shù)字的五位奇數(shù)？
（2）可組成多少個(gè)無(wú)重復(fù)數(shù)字的能被5整除的五位數(shù)？
（3）可組成多少個(gè)無(wú)重復(fù)數(shù)字的且大于31250的五位數(shù)？
（4）可組成多少個(gè)無(wú)重復(fù)數(shù)字的能被3整除的五位數(shù)？

Answer 1

分析 （1）根據(jù)題意，首先分析末尾數(shù)字，易得末位數(shù)字可以為1、3、5，可得其取法數(shù)目，其首位數(shù)字不能為0，可得其取法數(shù)目，再選3個(gè)數(shù)字，排在中間，有A₄⁴種排法，由分步計(jì)數(shù)原理，計(jì)算可得答案；
（2）分兩類，當(dāng)末尾數(shù)字時(shí)0時(shí)，當(dāng)末尾數(shù)字是5時(shí)，根據(jù)分類計(jì)數(shù)原理可得．
（3）第一類，首位數(shù)字大于3的有2種，第二類，首位數(shù)字是3，第二位數(shù)字比1的有3種，第三類，首位數(shù)字是3，第二位數(shù)字是1，第三位數(shù)字比2大的有2種，第四類，首位數(shù)字是3，第二位數(shù)字是1，第三位數(shù)字是2，第四位數(shù)字比5的沒(méi)有，第五類，前4位數(shù)字是3125，第五位數(shù)字比0的大0只有1種，根據(jù)分類計(jì)數(shù)原理可得．
（4）能被3整除，其數(shù)字之和為3的倍數(shù)，分有0和無(wú)0兩類，根據(jù)分類計(jì)數(shù)原理可得．

解答 解：（1）根據(jù)題意，末位數(shù)字可以為1、3、5，有A₃¹種取法，首位數(shù)字不能為0，有A₄¹種取法，再選3個(gè)數(shù)字，排在中間，有A₄³種排法，則五位奇數(shù)共有A₃¹A₄¹A₄³=288（個(gè)）
（2）被5整除即末尾是0或5，當(dāng)末尾數(shù)字時(shí)0時(shí)，有A₅⁴種，
當(dāng)末尾數(shù)字是5時(shí)，首位數(shù)字不能為0，有A₄¹種取法，再選3個(gè)數(shù)字，排在中間，有A₄³種排法可組成A₄¹A₄³種，
根據(jù)分類計(jì)數(shù)原理A₅⁴+A₄¹A₄³，=216個(gè)．
（3）大于31250的五位數(shù)，第一類，首位數(shù)字大于3的有2種，故有2A₅⁴種，
第二類，首位數(shù)字是3，第二位數(shù)字比1的有3種，故有3A₄³種，
第三類，首位數(shù)字是3，第二位數(shù)字是1，第三位數(shù)字比2大的有2種，故有2A₃²種，
第四類，首位數(shù)字是3，第二位數(shù)字是1，第三位數(shù)字是2，第四位數(shù)字比5的沒(méi)有，
第五類，前4位數(shù)字是3125，第五位數(shù)字比0的大0只有1種，
根據(jù)分類計(jì)數(shù)原理，可組成$2A_5^4+3A_4^3+2A_3^2+1=325$個(gè)無(wú)重復(fù)數(shù)字的且大于31250的五位數(shù)．
（4）沒(méi)有0時(shí)，1+2+3+4+5=15能被3整除，故有A₅⁵=120種，有0時(shí)，只能選1，2，4，5，故有A₄¹A₄⁴=96種，
根據(jù)分類計(jì)數(shù)原理，共有120+96=216種．

點(diǎn)評(píng) 本題考查排列、組合的應(yīng)用，解題時(shí)注意題干條件對(duì)數(shù)的限制，其次還要注意首位數(shù)字不能為0，屬于中檔題．