Question

13．判斷下列函數(shù)奇偶性．
（1）f（x）=$\sqrt{{x}^{2}-4}$+$\sqrt{4-{x}^{2}}$
（2）f（x）=$\sqrt{x-4}$+$\sqrt{4-x}$
（3）f（x）=$\frac{\sqrt{9-{x}^{2}}}{|x+3|-3}$
（4）f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{{x}^{2}+x-1}&{（x＞0）}\\{-{x}^{2}+x+1}&{（x＜0）}\end{array}\right.$
（5）f（x）=（x-1）$\sqrt{\frac{1+x}{1-x}}$．

Answer 1

分析 首先判斷定義域是否關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，如果不對(duì)稱，是非奇非偶的函數(shù)；如果對(duì)稱，再由奇偶函數(shù)的定義判斷．

解答 解：（1）f（x）=$\sqrt{{x}^{2}-4}$+$\sqrt{4-{x}^{2}}$的定義域?yàn)閧x|x=±2}，f（x）=0，f（-x）=f（x）=-f（x）=0，所以f（x）既是奇函數(shù)又是偶函數(shù)；
（2）f（x）=$\sqrt{x-4}$+$\sqrt{4-x}$的定義域?yàn)閧x|x=4}，關(guān)于原點(diǎn)不對(duì)稱，是非奇非偶的函數(shù)；
（3）f（x）=$\frac{\sqrt{9-{x}^{2}}}{|x+3|-3}$定義域?yàn)閧x|-3≤x≤3且x≠0}，f（x）=$\frac{\sqrt{9-{x}^{2}}}{|x+3|-3}$=$\frac{\sqrt{9-{x}^{2}}}{x}$，f（-x）=-f（x），為奇函數(shù)；
（4）f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{{x}^{2}+x-1}&{（x＞0）}\\{-{x}^{2}+x+1}&{（x＜0）}\end{array}\right.$定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，x＞0時(shí)f（-x）=-x²-x+1=-f（x）；x＜0時(shí)，f（-x）=（-x）²-x-1=-（-x²+x+1）=-f（x），所以為奇函數(shù)；
（5）f（x）=（x-1）$\sqrt{\frac{1+x}{1-x}}$，定義域?yàn)閧x|-1≤x＜1}，關(guān)于原點(diǎn)不對(duì)稱，是非奇非偶的函數(shù)．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了函數(shù)奇偶性的判斷；首先判斷定義域是否關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，如果對(duì)稱，再由奇偶函數(shù)的定義判斷．