Question

5．五一節(jié)期間，某商場為吸引顧客消費推出一項優(yōu)惠活動．活動規(guī)則如下：消費額每滿100元可轉(zhuǎn)動如圖所示的轉(zhuǎn)盤一次，并獲得相應金額的返券．（假定指針等可能地停在任一位置，指針落在區(qū)域的邊界時，重新轉(zhuǎn)一次）指針所在的區(qū)域及對應的返劵金額見右上表．例如：消費218元，可轉(zhuǎn)動轉(zhuǎn)盤2次，所獲得的返券金額是兩次金額之和．
（1）已知顧客甲消費后獲得n次轉(zhuǎn)動轉(zhuǎn)盤的機會，已知他每轉(zhuǎn)一次轉(zhuǎn)盤指針落在區(qū)域邊界的概率為p，每次轉(zhuǎn)動轉(zhuǎn)盤的結(jié)果相互獨立，設(shè)ξ為顧客甲轉(zhuǎn)動轉(zhuǎn)盤指針落在區(qū)域邊界的次數(shù)，ξ的數(shù)學期望Eξ=$\frac{1}{25}$，標準差σξ=$\frac{3\sqrt{11}}{50}$，求n、p的值；
（2）顧客乙消費280元，并按規(guī)則參與了活動，他獲得返券的金額記為η（元）．求隨機變量η的分布列和數(shù)學期望．

指針位置	A區(qū)域	B區(qū)域	C區(qū)域
返券金額（單位：元）	60	30	0

Answer 1

分析 （1）依題意知，ξ服從二項分布ξ～B（n，p），再由二項分布的期望公式與二項分布的方差公式可得方程組，進而求出p與n的值．
（2）設(shè)指針落在A，B，C區(qū)域分別記為事件A，B，C，再計算出P（A）=$\frac{1}{6}$，P（B）=$\frac{1}{3}$，P（C）=$\frac{1}{2}$，以及隨機變量η的可能值為0，30，60，90，120，然后根據(jù)相互獨立事件的概率乘法公式分布得到其發(fā)生的概率，假若求出離散型隨機變量的分布列與期望．

解答 解：（1）依題意知，ξ服從二項分布ξ～B（n，p）
∴Eξ=np=$\frac{1}{25}$----------------①
又Dξ=（σξ）²=np（1-p）=$\frac{99}{2500}$----②
由①②聯(lián)立解得：n=4，p=$\frac{1}{100}$；
（2）設(shè)指針落在A，B，C區(qū)域分別記為事件A，B，C．則P（A）=$\frac{1}{6}$，P（B）=$\frac{1}{3}$，P（C）=$\frac{1}{2}$．
由題意得，該顧客可轉(zhuǎn)動轉(zhuǎn)盤2次．
隨機變量η的可能值為0，30，60，90，120．
P（η=0）=$\frac{1}{2}×\frac{1}{2}$=$\frac{1}{4}$
P（η=30）=$\frac{1}{2}×\frac{1}{3}×2$=$\frac{1}{3}$   
P（η=90）=$\frac{1}{3}×\frac{1}{6}×2$=$\frac{1}{9}$
P（η=60）=$\frac{1}{2}×\frac{1}{6}×2$+$\frac{1}{3}×\frac{1}{3}$=$\frac{5}{18}$
P（η=120）=$\frac{1}{6}×\frac{1}{6}$=$\frac{1}{36}$．
所以，隨機變量η的分布列為：

P	0	30	60	90	120
η	$\frac{1}{4}$	$\frac{1}{3}$	$\frac{5}{18}$	$\frac{1}{9}$	$\frac{1}{36}$

故其數(shù)學期望Eη=0×$\frac{1}{4}$+30×$\frac{1}{3}$+60×$\frac{5}{18}$+90×$\frac{1}{9}$+120×$\frac{1}{36}$=40．

點評 解決此類問題的關(guān)鍵是熟練掌握二項分布的期望與方差公式與離散型隨機變量的分布列、期望、方差，以及相互獨立事件的概率乘法公式，此題屬于中檔題，是高考經(jīng)常涉及的考點之一．