Question

13．設f^-1（x）為f（x）=$\frac{x}{4}$-$\frac{π}{8}$cosx+$\frac{π}{8}$，x∈（0，π]的反函數(shù)，則y=f（x）+f^-1（x）的最大值為$\frac{5π}{4}$．

Answer 1

分析 根據(jù)f（x）是（0，π]上的單調(diào)增函數(shù)，且f（x）與f^-1（x）單調(diào)性相同，
得出y=f（x）+f^-1（x）的定義域是（a，$\frac{π}{2}$]，
計算y=f（x）+f^-1（x）的最大值為f（$\frac{π}{2}$）+f^-1（$\frac{π}{2}$）．

解答 解：∵f（x）=$\frac{x}{4}$-$\frac{π}{8}$cosx+$\frac{π}{8}$在x∈（0，π]上單調(diào)遞增，
且f^-1（x）為f（x）=$\frac{x}{4}$-$\frac{π}{8}$cosx+$\frac{π}{8}$在x∈（0，π]的反函數(shù)，
又f（x）與f^-1（x）的單調(diào)性相同，
∴當x=π時，f（x）的最大值是f（π）=$\frac{π}{4}$-$\frac{π}{8}$cosπ+$\frac{π}{8}$=$\frac{π}{2}$；
且當x=$\frac{π}{2}$時，f（x）=$\frac{π}{8}$-$\frac{π}{8}$cos$\frac{π}{2}$+$\frac{π}{8}$=$\frac{π}{4}$，
∴y=f（x）+f^-1（x）的定義域是（a，$\frac{π}{2}$]，
且x=$\frac{π}{2}$時，f^-1（$\frac{π}{2}$）=π；
∴y=f（x）+f^-1（x）的最大值為
f（$\frac{π}{2}$）+f^-1（$\frac{π}{2}$）=$\frac{π}{4}$+π=$\frac{5π}{4}$．
故答案為：$\frac{5π}{4}$．

點評 本題考查了互為反函數(shù)的兩個函數(shù)單調(diào)性相同的應用問題，是基礎題目．