Question

等差數(shù)列{a_n}中，首項a₁=1，公差d≠0，已知數(shù)列a k1，a k2，a k3…a kn…成等比數(shù)列，其中k₁=1，k₂=2，k₃=5．
（1）求數(shù)列{a_n}，{k_n}的通項公式；
（2）令b_n=

an

2kn-1

，求數(shù)列{b_n}的前n項和T_n．

Answer 1

考點：數(shù)列的求和

專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（1）根據等差數(shù)列和等比數(shù)列建立方程關系，即可得到結論．
（2）求出數(shù)列{b_n}的通項公式，利用錯位相減法即可得到結論．

解答： 解：（1）∵{a_n}的公差為d（d≠0），
由已知得a₁=1，a₂=1+d，a₅=1+4d成等比數(shù)列，
∴（1+d）²=1×（1+4d），解得d=0（舍去）或d=2，
∴a_n=1+2（n-1）=2n-1．
akn=2kn-1，
又等比數(shù)列a₁，a₂，a₅的公比為q=

a2

a1

=

3

1

=3，
∴akn=2kn-1=3^n-1，
即k_n=

1+3n-1

2

．
（2）∵b_n=

an

2kn-1

，
∴b_n=

an

2kn-1

=

2n-1

1+3n-1-1

=

2n-1

3n-1

，
則T_n=

1

30

+

3

31

+

5

32

+…+

2n-1

3n-1

 ①，
     3T_n=

1

3

+

3

32

+

5

33

+…+

2n-1

3n

 ②，
①-②得-2T_n=1+

2

3

+

2

32

+…+

2

3n-1

-

2n-1

3n

=1+

2 3 (1-( 1 3 )n-1)

1- 1 3

-

2n-1

3n

=2-(

1

3

)n-1-

2n-1

3n

，
∴T_n=

1

2

•(

1

3

)n-1+

1

2

•

2n-1

3n

-1．

點評：本題考查等差數(shù)列、等比數(shù)列的通項公式及數(shù)列求和，考查學生分析解決問題的能力，熟記兩類特殊數(shù)列的通項公式及求和公式是解決問題的關鍵．