Question

1．比較2ⁿ與2n+1的大小并證明．

Answer 1

分析 當(dāng)n=1，2時，直接驗(yàn)證可得：2ⁿ＜2n+1．當(dāng)n≥3時，2ⁿ＞2n+1．利用數(shù)學(xué)歸納法即可證明．

解答 解：當(dāng)n=1時，2¹=2，2×1+1=3，∴2¹＜2×1+1．
當(dāng)n=2時，2²=4，2×2+1=5，∴2²＜2×2+1．
當(dāng)n=3時，2³=8，2×3+1=7，∴2³＞2×3+1．
當(dāng)n≥3時，2ⁿ＞2n+1．
下面利用數(shù)學(xué)歸納法證明：
（1）當(dāng)n=3時，成立．
（2）假設(shè)當(dāng)n=k≥3（k∈N^*）時，2^k＞2k+1．
則當(dāng)n=k+1時，2^k+1=2•2^k＞2（2k+1）=4k+2=2k+3+2k-1＞2k+3=2（k+1）+1．
∴當(dāng)n=k+1時，不等式成立．
綜上可得：當(dāng)n≥3時，不等式2ⁿ＞2n+1成立．
故：當(dāng)n=1，2時，2ⁿ＜2n+1．
當(dāng)n≥3時，2ⁿ＞2n+1．

點(diǎn)評 本題考查了利用數(shù)學(xué)歸納法證明不等式的方法，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．