Question

2．2011年，國(guó)際數(shù)學(xué)協(xié)會(huì)正式宣布，將每年的3月14日設(shè)為國(guó)際數(shù)學(xué)節(jié)，來源是中國(guó)古代數(shù)學(xué)家祖沖之的圓周率．為慶祝該節(jié)日，某校舉辦的數(shù)學(xué)嘉年華活動(dòng)中，設(shè)計(jì)了如下有獎(jiǎng)闖關(guān)游戲：參賽選手按第一關(guān)、第二關(guān)、第三關(guān)的順序依次闖關(guān)，若闖關(guān)成功，分別獲得5個(gè)、10個(gè)、20個(gè)學(xué)豆的獎(jiǎng)勵(lì)．游戲還規(guī)定，當(dāng)選手闖過一關(guān)后，可以選擇帶走相應(yīng)的學(xué)豆，結(jié)束游戲；也可以選擇繼續(xù)闖下一關(guān)，若有任何一關(guān)沒有闖關(guān)成功，則全部學(xué)豆歸零，游戲結(jié)束．設(shè)選手甲能闖過第一關(guān)、第二關(guān)、第三關(guān)的概率分別為$\frac{3}{4}，\frac{2}{3}，\frac{1}{2}$，選手選擇繼續(xù)闖關(guān)的概率均為$\frac{1}{2}$，且各關(guān)之間闖關(guān)成功與否互不影響．
（Ⅰ）求選手甲第一關(guān)闖關(guān)成功且所得學(xué)豆為零的概率；
（Ⅱ）設(shè)該選手所得學(xué)豆總數(shù)為X，求X的分布列與數(shù)學(xué)期望．

Answer 1

分析 （Ⅰ）設(shè)甲“第一關(guān)闖關(guān)成功且所得學(xué)豆為零”為事件A，“第一關(guān)闖關(guān)成功第二關(guān)闖關(guān)失敗”為事件A₁，“前兩關(guān)闖關(guān)成功第三關(guān)闖關(guān)失敗”為事件A₂，則A₁，A₂互斥，由此能求出選手甲第一關(guān)闖關(guān)成功且所得學(xué)豆為零的概率．
（Ⅱ）X所有可能的取值為0，5，15，35，分別求出相應(yīng)的概率，由此能求出X的分布列和數(shù)學(xué)期望．

解答 解：（Ⅰ）設(shè)甲“第一關(guān)闖關(guān)成功且所得學(xué)豆為零”為事件A，
“第一關(guān)闖關(guān)成功第二關(guān)闖關(guān)失敗”為事件A₁，
“前兩關(guān)闖關(guān)成功第三關(guān)闖關(guān)失敗”為事件A₂，則A₁，A₂互斥，
$P（{A_1}）=\frac{3}{4}×\frac{1}{2}×（1-\frac{2}{3}）=\frac{1}{8}$，…（2分）
$P（{A_2}）=\frac{3}{4}×\frac{1}{2}×\frac{2}{3}×\frac{1}{2}×（1-\frac{1}{2}）=\frac{1}{16}$，…（4分）
$P（A）=P（{A_1}）+P（{A_2}）=\frac{1}{8}+\frac{1}{16}=\frac{3}{16}$…（5分）
（Ⅱ）X所有可能的取值為0，5，15，35，…（6分）
$P（X=0）=（1-\frac{3}{4}）+P（A）=\frac{7}{16}$，
$P（X=5）=\frac{3}{4}×\frac{1}{2}=\frac{3}{8}$，
$P（X=15）=\frac{3}{4}×\frac{1}{2}×\frac{2}{3}×\frac{1}{2}=\frac{1}{8}$，
$P（X=35）=\frac{3}{4}×\frac{1}{2}×\frac{2}{3}×\frac{1}{2}×\frac{1}{2}=\frac{1}{16}$…（10分）
所以，X的分布列為：

X	0	5	15	35
P	$\frac{7}{16}$	$\frac{3}{8}$	$\frac{1}{8}$	$\frac{1}{16}$

…（11分）
$EX=0×\frac{7}{16}+5×\frac{3}{8}+15×\frac{1}{8}+35×\frac{1}{16}=\frac{95}{16}$…（12分）

點(diǎn)評(píng) 本題考查概率的求法，離散型隨機(jī)變量的分布列和數(shù)學(xué)期望的求法，是中檔題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意相互獨(dú)立事件概率乘法公式和互斥事件概率加法公式的合理運(yùn)用．