Question

14．某市對該市高三年級的教學(xué)質(zhì)量進行了一次檢測，某校共有720名學(xué)生參加了本次考試，考試結(jié)束后，統(tǒng)計了學(xué)生在數(shù)學(xué)考試中，選擇選做題A，B，C三題（三道題中必須且只能選一題作答）的答卷份數(shù)如表：

題號	A	B	C
答卷份數(shù)	160	240	320

該校高三數(shù)學(xué)備課組為了解參加測試的學(xué)生對這三題的答題情況，現(xiàn)用分層抽樣的方法從720份答卷中抽出9份進行分析．
（Ⅰ）若從選出的9份答卷中抽出3份，求這3份中至少有1份選擇A題作答的概率；
（Ⅱ）若從選出的9份答卷中抽出3份，記其中選擇C題作答的份數(shù)為X，求X的分布列及其數(shù)學(xué)期望E（X）．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由題意求出分別從A，B，C題的答卷中抽出2份、3份、4份． 利用對立事件概率計算公式能求出從選出的9份答卷中選出3份，這3份中至少有1份選擇A題作答的概率．
（Ⅱ）由題意可知，選出的9份答卷中C題共有4份，則隨機變量X可能的取值為0，1，2，3，分別求出相應(yīng)的概率，由此能求出隨機變量X的分布列和E（X）．

解答 （本小題滿分12分）
解：（Ⅰ）由題意可得：

題號	A	B	C
答卷數(shù)	160	240	320
抽出的答卷數(shù)	2	3	4

應(yīng)分別從A，B，C題的答卷中抽出2份、3份、4份．    …（2分）
設(shè)事件D表示“從選出的9份答卷中選出3份，至少有1份選擇A題作答”，
則：P（D）=1-p（$\overline{D}$）=1-$\frac{{C}_{7}^{3}}{{C}_{9}^{3}}$=1-$\frac{5}{12}$=$\frac{7}{12}$，
∴從選出的9份答卷中選出3份，這3份中至少有1份選擇A題作答的概率$\frac{7}{12}$．…（5分）
（Ⅱ）由題意可知，選出的9份答卷中C題共有4份，
則隨機變量X可能的取值為0，1，2，3…（6分）
P（X=0）=$\frac{{C}_{5}^{3}}{{C}_{9}^{3}}$=$\frac{5}{42}$，P（X=1）=$\frac{{C}_{5}^{2}{C}_{4}^{1}}{{C}_{9}^{3}}$=$\frac{10}{21}$，
P（X=2）=$\frac{{C}_{5}^{1}{C}_{4}^{2}}{{C}_{9}^{3}}$=$\frac{4}{15}$，P（X=3）=$\frac{{C}_{4}^{3}}{{C}_{9}^{3}}$=$\frac{1}{21}$，…（10分）
∴隨機變量X的分布列為：

X	0	1	2	3
P	$\frac{5}{42}$	$\frac{1}{21}$	$\frac{5}{14}$	$\frac{1}{21}$

∴E（X）=$0×\frac{5}{42}+1×\frac{10}{21}+2×\frac{5}{14}+3×\frac{1}{21}$=$\frac{4}{3}$．…（12分）

點評 本題考查概率的求法，考查離散型隨機變量的分布列和數(shù)學(xué)期望的求法，是中檔題，解題時要認真審題，注意排列組合知識的合理運用．